Формула Пуассона. Імовірність того, що за проміжок часу t + не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

Імовірність того, що за проміжок часу t + не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

(52)

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:

(53)

оскільки .

Перенісши і в рівняннях (52), (53) у ліву частину, дістанемо таку систему рівнянь:

(54)

Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь (54) на і виконаємо граничний перехід при . У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:

;

. (55)

Для розв’язування системи (55) використаємо твірну функцію

. (56)

Розглянемо властивості функції А(х, t). При х = 1 А(1, t) = 1.

При х = 0 А(0, t) = p₀(t), А(х, 0) = р₀ (0) = 1,

. (57)

Помножимо друге рівняння системи (55) на х^m і підсумуємо ліву та праву частини рівняння:

.

або з урахуванням (56)

. (58)

Розв’язавши диференціальне рівняння, дістанемо:

, (59)

оскільки А(х, 0) = р₀(0) = 1.

Згідно з властивістю А(x, t) маємо:

;

.

Отже, імовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік, обчислюється за формулою

, (60)

де — це інтенсивність найпростішого потоку, тобто: середнє число подій, які відбудуться за одиницю часу [с, хв, год].

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.

Розв’язання. Із умови задачі: .

За таблицею (дод. 3), коли знаходять:

1) ;

2)

=