Локальна теорема

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m пов’язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної теорем Муавра—Лапласа.

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (35)

де ℮ називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де

. (36)

Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.

Коли n ® ∞, маємо:

.

Розклавши логарифмічні функції у ряд Тейлора і обмежившись двома членами ряду,

При маємо:

Отже,

,

а для великих, хоча й обмежених значень n

,

що й потрібно було довести.

Властивості функції Гаусса:

1) визначена на всій осі абсцис; ;

2) є функцією парною: ;

3) ;

4) ; ;

; ; отже, — максимум функції Гаусса;

5) .

Таким чином, х₁ = –1, х₂ = 1 будуть точками перегину. При цьому

; ; .

Графік функції Гаусса зображено

Рис. 15

Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

; .

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв’язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

2) ;

;

3) ;

.