Локальна теорема
Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m пов’язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної теорем Муавра—Лапласа.
Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:
, (35)
де ℮
називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де
. (36)
Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.
Коли n ® ∞, маємо:
.
Розклавши логарифмічні функції у ряд Тейлора і обмежившись двома членами ряду,
При маємо:
Отже,
,
а для великих, хоча й обмежених значень n
,
що й потрібно було довести.
Властивості функції Гаусса:
1) визначена на всій осі абсцис;
;
2) є функцією парною:
;
3) ;
4) ;
;
;
; отже,
— максимум функції Гаусса;
5)
.
Таким чином, х1 = –1, х2 = 1 будуть точками перегину. При цьому
;
;
.
Графік функції Гаусса зображено
Рис. 15
Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
;
.
Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:
1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;
2) 300 шт.;
3) 320 шт.
Розв’язання. За умовою задачі маємо:
n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.
1)
;
;
;
;
2) ;
;
3) ;
.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1324;