Основные операции над матрицами.
· Равенство матриц.
, если для всех i и j .
· Сумма матриц и разность матриц.
если для всех i и j ,
если для всех i и j .
· Умножение матрицы на скаляр.
если для всех i и j .
· Умножение матриц.
Выполняется путем вычисления каждого элемента матрицы по следующему правилу:
Следует обратить внимание, что эта операция возможна только в том случаe, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, то есть когда
.
Процесс вычисления элемента матрицы , лежащего на пересечении i-й строки и j-го столбца (то есть элемента ) можно пояснить схемой:
Характерно, что , за исключением специальных случаев.
Могут не совпадать даже размерности получаемых матриц. Так, при перемножении матрицы-строки на матрицу-столбец результатом будет скаляр (матрица размером 1 x 1), а при перемножении матрицы-столбца на матрицу-строку результатом будет прямоугольная матрица.
Один из частных случаев, когда умножение матриц коммутативно, – умножение на единичную матрицу. Легко показать, что .
Интересно отметить также, что произведение может быть равно нулю, даже если сомножители не являются нулевыми матрицами.
Например, .
· Обратные матрицы.
Обратная матрица есть такая матрица, для которой выполняется равенство
.
Не всякая матрица имеет обратную. Если матрица имеет обратную, то говорят, что она невырожденная. Матрицы, не имеющие обратной матрицы, называются вырожденными или особенными. Определитель вырожденной матрицы равен нулю, то есть
.
Следующие высказывания означают одно и то же:
§ матрица - невырожденная,
§ обратная матрица существует,
§ столбцы матрицы линейно независимы,
§ строки матрицы линейно независимы.
Можно показать, что обратная матрица произведения нескольких матриц определяется по правилу:
.
· Транспонирование матриц.
.
Транспонированная матрица получается путем замены в исходной матрице строк столбцами. В частности, транспонирование матрицы-столбца дает матрицу-строку и наоборот.
Транспонирование произведения нескольких матриц выполняется по правилу:
.
· Дифференцирование и интегрирование матриц.
Если элементами матрицы являются функции , то можно условно определить производную от нее следующим образом:
, если для всех элементов матрицы .
Частные производные и интегралы от матрицы можно понимать аналогично.
· Нахождение собственных чисел (значений) и собственных векторов квадратной матрицы.
Если в выражении матрицы-столбцы рассматривать как вектора, то матрица будет представлять собой линейный оператор, преобразующий вектор в вектор , имеющий в общем случае (см. рис. 2.2) иную длину и иное направление, нежели вектор . Более того, если матрица не является квадратной, исходный вектор и полученный вектор могут принадлежать пространствам с разным числом измерений, то есть иметь различное число компонент. Преобразование же вида изменяет лишь длину вектора, но не изменяет его направления.
Рис. 2.2
Рис. 2.3
Если удается установить равенство вида , то это означает, что линейный оператор в данном частном случае также изменяет лишь длину вектора, не меняя его направления.
Собственные значения (собственные числа) матрицы - это такие числа , для которых выполняется равенство для некоторого ненулевого столбца (вектора) . Вектор в этом случае называется собственным вектором матрицы ( рис. 2.3).
Квадратная матрица порядка n имеет n собственных чисел и, как правило, (не всегда) n собственных векторов.
Дата добавления: 2015-01-02; просмотров: 742;