Примеры решения задач на удельные теплоемкости, (разные варианты).

1. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные.

Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлениии и при постоянном объеме существует связь:

C_p=mc_p и C_v=mc_v,

где

, а .

Таким образом, для удельныхтеплоемкостей имеем:

а .

Зная, что неон одноатомныйгаз длянего число степеней свободы i=3, m=20×10^-3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, m=27×10^-3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения и значение универсальной газовой постоянной R=8,31 Дж/(моль×К), вычисляем удельные теплоемкости для:

1) неона

2) водорода

.

2. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.

Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:

Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны

и

Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь

Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем:

3. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу этого газа.

Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

где I – число степеней свободы газа.

Таким образом:

Откуда

Подставляяв полученную формулу значения данных в условии задачи величин, сучетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:

4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w₁=80% и w₂=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона с_v=6,24×10² Дж/(кг×К), с_p==1,04×10³ Дж/(кг×К); для водорода-с_v=1,04×10⁴ Дж/(кг×К), с_p==1,46×10⁴ Дж/(кг×К).

Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т₁ до температуры Т₂ равна:

где с_v(см) – удельная теплоемкость смеси;

(m₁+m₂) – масса смеси;

(T₂–T₁) – изменение температуры.

С другой стороны это количество тепла может быть вычисленопо формуле:

где Q₁ и Q₁ – соответственно количество тепла, которое необходимо

сообщить, чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;

с_v1 и с_v2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;

m₁ и m₂ – массы неона и водорода.

Таким образом имеем:

или

откуда

где и – массовые доли неона и водорода соответственно.

Подставляячисленные значения для удельнойтеплоемкости смеси неона иводорода при постоянномдавлении, будемиметь:

Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь: