Примеры решения задач. 1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с

1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его температурой соотношением

где R – универсальная газовая постоянная;

m – молекулярная масса газа;

T – абсолютная температура газа.

Для определения температуры газа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона

где r=m/V – плотность газа.

Следовательно

.

Откуда

Подставляя численные значения имеем

1.3.2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул воздуха s=0,3 нм.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где <v> – средняя арифметическая скорость молекул;

<Z> – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными молекулами в единицу времени;

s – эффективный диаметр молекулы;

n – число молекул в единице объема (концентрация молекул). Для определения числа молекул в единице объема воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления

p=nkT,

где k – постоянная Больцмана;

Т – температура газа.

.

Тогда для средней длины свободногопробегаимеем

.

Подставляячисленные значения, окончательно получаем:

м.

1.3.3. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100 ^oС, если средняя длина свободного пробега <l>=870 мкм.

Решение. Число столкновений молекул газа в единицу времени связаносо средней длиной свободного пробега соотношением

,

где – средняя арифметическая скорость.

Следовательно,

Подставляячисленные значения имеем

1.3.4. При некотором давлении и температуре 0 ^oС средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода, если давление кислорода уменьшить в 100 раз.

Решение. Среднее число столкновений в единицу времени

,

где <v>=(8RT/pm)^1/2 – средняя арифметическая скорость молекул газа;

<l> – средняя длина свободного пробега молекул.

При изменении давления газа длины свободного пробега обратно пропорциональныдавлению:

,

где l₁, l₂ – длина свободного пробега молекул газа при соответствующих давлениях p₁ и p₂.

В нашем случае:

Подставляя численные значения для <Z>, имеем

.

1.3.5. Какая часть молекул кислорода при t=0 ^oС обладает скоростями от 100 до 110 м/с?

Решение. Распределение молекул по скоростям можно определить из закона Максвелла

,

где u=v/v_в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v_в=(2RT/m)^1/2 – наиболее вероятная скорость молекул;

Du – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить (распределение молекул по скоростям)

В нашем случае v=100 м/с; v=10 м/с; Наиболее вероятная скорость v=(2RT/pm)^1/2=376 м/с. Следовательно, u=v/v_в=100/376, u²=0,071; Du=10/376; exp(-u²)=0,93.

Тогда

Таким образом, число молекул кислорода, скорости которых лежат в указанном интервале, равно 4%общего числа молекул.

1.3.6. Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью v_o, затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа? Двухатомного газа? Газ считать идеальным.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M-масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией

W_к=Mv_o²/2.

Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором ониучаствуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоропревратится в хаотическое.

Пренебрегая теплообменом между газом и стенкамисосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что "исчезнувшая" кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движения молекул (приросту внутренней энергии DU:

W_к=DU.

Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:

где m – масса молекулы;

N – число молекул в сосуде.

Имеем

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении

DU=U₂–U₁=M[v²_кв2-v²_кв1]/2,

где v_кв1,v_кв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.

Подставив в уравнение W_к=DU значения W_к и DU, получим первый ответ

v²_кв2-v²_кв1=v²_o.

Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул. При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две - на вращательное. В соответствии сзакономо равномерном распределении энергии по степенямсвободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличениеэнергии поступательного движения молекул и две пятых - на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, теперь имеем

Откуда получим второй ответ:

1.3.7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К.

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул DN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+Du:

где N-полное число молекул газа;

– функция распределения Максвелла;

u=v/v_в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v_в – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии Du<u. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать v=v_в. Следовательно, u=v/v_в=1 и выше написанное уравнение примет более простой вид:

.

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Du:

Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие Du<u. Так как u=v/v_в, то Du=Dv/v_в.

Чтобы вычислить Du, найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:

v_в1=2×8,31×400/0,002=1,82×10³ м/с,

v_в2=2×8,31×900/0,002=2,73×10³ м/с.

Подставляя эти значения v_в и имея в виду, что Dv=10 м/с, поскольку в задаче идетречь о скоростях, лежащих в интервале от v_в=-5,0 м/с до v_в=+5,0 м/с, получим:

Du₁=1/182, Du₂=1/273.

Так как u=1, видим, что условие Du<u выполняется для обеих температур.

Теперь найдем

DN₁/N=4/((3,14)^1/2 ×2,7×182)=0,0046,

DN₂/N=4/((3,14)^1/2×2,7×273)=0,0030.

Таким образом, приувеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается,а числомолекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.

1.3.8. Какая часть молекул газа имеет скорости превышающие наиболее вероятную скорость?

Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заключеныв интервале от наиболеевероятной скорости vдо v+Dv, т.е. в бесконечно большом интервале скоростей v. Таким образом, условие применимости закона распределения скоростей, заключающееся в том, что Du<u, или Dv<v, здесь не выполняется. Поэтому от уравнения в форме:

надо перейти к дифференциальнойформе этого закона

.

Полное число DN молекул, относительные скорости которых лежат в заданном интервале от u₁ до u_2, найдем, интегрируя правую часть в этих пределах: