Примеры решения задач по теплопроводности.

Задача 1. Определить количество теплоты, которое передается в течение 1 часа через стенки картера авиадвигателя, если толщина стенок d = 5,5 мм, площадь поверхности стенок F = 0,6 м², температура на внутренней поверхности картера t_W1= 75°С, на наружной t_W2= 68°С, а средний коэффициент теплопроводности стенок 

l= 175 Вт/м×град.

Рисунок 1.6

Решение : Количество теплоты, передаваемое через стенки картера в течение 1 часа, будет равно:

Задача 2. Вычислить плотность теплового потока через плоскую однородную стенку(l - коэффициент теплопроводности), толщина которой значительно меньше ширины и высоты, если стенка выполнена:

а) из стали (l= 40 Вт/м×град);

б) из бетона (l= 1,1 Вт/м×град);

в) из кирпича (l= 0,11 Вт/м×град).

Во всех трех случаях толщина стенки d =50 мм. Температуры на поверхностях стенки поддерживаются постоянными и равными t_W1=100°С и t_W2=90°С.

Рисунок 1.7

Решение: Плотность теплового потока q определяется выражением (1.6):

.

Откуда:

для стенки из стали ;

для стенки из бетона ;

для стенки из кирпича .

Задача 3. Определить толщину тепловой изоляции d, выполненной из:

1) альфоля;

2) шлаковой ваты.

Удельные потери теплоты через изоляционный слой q =523 Вт/м², температуры его поверхности t_W1=700°C и t_W2=40°C. Коэффициент теплопроводности альфоля l= 0,0302+0,000085×t и коэффициент теплопроводности шлаковой ваты
l= 0,058+0,000145×t. Здесь t – средняя температура изоляции в °C.

Рисунок 1.8

Решение: В случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры плотность теплового потока определяется по формуле для постоянного коэффициента теплопроводности, взятого при средней температуре стенки /20, задача 1-6/, т.е.:

Определяем l_ср альфоля:

Определяем толщину альфолиевой изоляции:

Определяем l_ср шлаковой ваты:

Толщина тепловой изоляции из шлаковой ваты:

.

Задача 4. Плоская стенка (коэффициент теплопроводности l = 11,6 Вт/м×град, толщина d = 0,005 м) омывается с одной стороны горячими газами с температурой 

t_f1 = 2000°С, а с другой стороны охлаждается водой с t_f2 = 27°С. Коэффициенты теплоотдачи от газа к стенке a₁ = 467 Вт/м²×град, от стенки к воде
a₂ = 3500 Вт/м²×град. Определить удельный тепловой поток и температуры стенки t_W1, t_W2.

Рисунок 1.9

Решение : Удельный тепловой поток через стенку равен (формула 1.12):

.

Температуры стенок определяются (формулы 1.10, 1.11):

;

.

Задача 5. Определить удельный тепловой поток с учетом и без учета теплового сопротивления контакта через многослойную плоскую стенку, состоящую из слоя окиси циркония толщиной d₁ = 0,2 мм, слоя стали толщиной d₂ = 6 мм, слоя алюминия толщиной d₃=10мм, если температуры на внешних поверхностях стенки поддерживаются постоянными и равными t_W1 = 1200°С и t_W4 = 400°С; коэффициент теплопроводности окиси циркония l₁ = 1,15 Вт/м×град, стали l₂ = 34,9 Вт/м×град и алюминия l₃ = 422 Вт/м×град. Термическое сопротивление контакта между слоями окиси циркония и стали R_к1 = 0,258×10^-3 м²град/Вт, а между слоями стали и алюминия R_к2 = 0,266×10^-3 м²град/Вт. Определить температуры на контактирующих поверхностях каждого слоя.

Рисунок 1.10

Решение:  Для трехслойной стенки при стационарной теплопроводности с учетом теплового сопротивления контакта удельный тепловой поток определяется выражением (формула 1.9 для n-слойной стенки):

.

Для трехслойной стенки без учета теплового сопротивления удельный тепловой поток определяется формулой (1.7), т.е.:

Температуры на контактирующих поверхностях будут равны:

Задача 6. Змеевики пароперегревателя выполнены из труб жаропрочной стали диаметром d₁/d₂=32/42 мм с коэффициентом теплопроводности l=14 Вт/м×град. Температура внешней поверхности трубы t_W2=580°С, внутренней – t_W1=450°С. Вычислить удельный тепловой поток через стенку на единицу длины трубы.

Рисунок 1.11

Решение: Поток тепла, проходящий через единицу трубы, представляющей собой цилиндрическую стенку, равен (формула 1.18):

Задача 7. Паропровод диаметром 150/160 мм покрыт слоем тепловой изоляции толщиной d_из=100мм. Коэффициенты теплопроводности стенок трубы 

l₁=50 Вт/м×град и изоляции l₂=0,08 Вт/м×град. Температура на внутренней поверхности паропровода t_W1=400°С и на наружной поверхности изоляции t_W3=50°С. Найти тепловые потери с 1 м паропровода и температуру на границе соприкосновения паропровода и изоляции t_W2.

Рисунок 1.12

Решение: Внешний диаметр паропровода равен:

.

Тепловые потери с 1м паропровода будут равны (формула 1.19):

Температура t_W2 будет равна (из формулы 1.18):

Задача 8. Определить температуры на поверхности соприкосновения слоев стенки t_W2 камеры сгорания жидкостного ракетного двигателя и на внешней поверхности t_W3, если диаметр камеры d₁=190 мм, толщина защитного покрытия d_n=1 мм и его коэффициент теплопроводности l_n=1,15 Вт/м×град, а толщина основной стенки 

d_W=2 мм и ее коэффициент теплопроводности l_W=372 Вт/м×град. Удельный тепловой поток q=407500 Вт/м², температура на поверхности покрытия со стороны камеры t_W1=1200°С.

Рисунок 1.13

Решение: Из формул (1.18) и (1.19) будем иметь:

Из условий задачи:

;

;

Тогда:

.

Задача 9. По неизолированному трубопроводу диаметром 170/185 мм, проложенному на открытом воздухе, протекает вода со средней температурой t_f1= 95°С, температура окружающего воздуха t_f2= -18°С. Определить потерю теплоты с 1м длины трубопровода и температуры на внутренней и внешней поверхностях этого трубопровода, если коэффициент теплопроводности материала трубы 

l=58,15 Вт/м×град, коэффициент теплоотдачи от воды к стенке трубы
a₁=1395 Вт/м×град и от трубы к окружающему воздуху
a₂= 13,95 Вт/м×град.

Рисунок 1.14

Решение: Потеря тепла с 1м длины трубопровода будет равна (формула 1.21):

Температуры на внутренней и внешней поверхностях практически равны (формулы для определения температур аналогичны выражениям (1.10), (1.11) для плоской стенки):

Задача 10. Определить тепловые потери на 1м длины трубопровода, а также температуры на внутренней и внешней поверхностях при условии, что трубопровод, рассматриваемый в задаче 1.9, покрыт слоем изоляции толщиной d =70 мм с коэффициентом теплопроводности l_из= 0,116 Вт/м×град, а коэффициент теплоотдачи поверхности изоляции к окружающей среде a₂=9,3 Вт/м²×град. Остальные условия те же, что и в задаче 1.9.

Рисунок 1.15

Решение: В соответствии с условиями задачи

Тепловые потери на 1 м длины трубопровода можно определить по формуле (1.22):

l_из=l₂;

Температуры на поверхностях трубопровода будут равны:

Задача 11. Шаровой реактор, внутренний диаметр которого d₁ = 1м, имеет общую толщину стенки и слоя изоляции d = 65мм с эквивалентным коэффициентом теплопроводности l_экв = 1,047 Вт/м×град. Определить удельную тепловую нагрузку внутренней и наружной поверхностей стенки реактора, если температура внутренней поверхности стенки t_W1 = 160°С, а внешней t_W2= 60°С.

Рисунок 1.16

Решение: Из условий задачи: d₂= d₁ +2d =(1000+2×65) мм=1130 мм.

Общее количество теплоты, выделяемое реактором (формула 2.63 /14/):

Удельная тепловая нагрузка на внутренней и наружной поверхностях:

Задача 12. Электронагреватель выполнен из нихромовой проволоки диаметром d = 2 мм, длиной l = 10 м. Он обдувается холодным воздухом с температурой t = 20°С. Вычислить тепловой поток с 1 м нагревателя, а также температуры на поверхности и на оси проволоки, если сила тока I, проходящего через нагреватель, составляет 25А. Удельное электрическое сопротивление нихрома r =1,1 Ом×мм²/м, коэффициент теплопроводности нихрома l =17,5 Вт/м²×град и коэффициент теплоотдачи от поверхности нагревателя к воздуху a=46,5Вт/м²×град.

Рисунок 1.17

Решение: Электрическое сопротивление нагревателя:

Мощность нагревателя:

Тепловой поток, выделяемый нагревателем на длине 1 м:

Температура поверхности проволоки будет равна:

Температура на оси проволоки нагревателя равна
(из формулы 2-147 /14/):

Задача 13. Трубка из нержавеющей стали с внутренним диаметром  d₁= 7,6 мм и наружным диаметром d₂= 8 мм включена в электрическую цепь. Все тепло отводится через внутреннюю поверхность трубки. Вычислить объемную производительность источников тепла и перепад температур в стенке трубки, если по трубке пропускается ток силой I=250 А. Удельное электрическое сопротивление и коэффициент теплопроводности стали соответственно равны  r=0,85 Ом×мм²/м, l =18,6 Вт/м×град.

Рисунок 1.18

Решение: Электрическое сопротивление на единицу длины трубки:

Здесь r₁, r₂ – внутренний и внешний радиусы трубки (r₁ =7,6 мм, r₂=4 мм).

Тепловой поток на единицу длины:

Объемная производительность внутренних источников тепла:

Перепад температур в стенке трубы (формула 1.35):

Задача 14. Через трубку из нихромовой стали диаметром 14/14,6 мм пропускается ток силой I=300А. Определить объемную теплопроизводительность источников теплоты и перепад температуры в стенке трубки в предположении, что теплота отводится:

а) только через внутреннюю поверхность трубки;

б) только через наружную поверхность трубки.

Электрическое сопротивление материала трубки r =1,17 Ом×мм²/м и коэффициент теплопроводности l = 7,2 Вт/м×град.

Рисунок 1.19

Решение: Электрическое сопротивление на единицу длины трубки:

Здесь r₁=7 мм и r₂=7,3 мм – внутренний и внешний радиусы трубки.

Тепловой поток на единицу длины:

Объемная производительность внутренних источников тепла:

а) Перепад температур в стенке трубки при отводе теплоты через внутреннюю поверхность трубки (формула 1.35):

б) Перепад температур в стенке трубки при отводе теплоты через наружную поверхность трубки (формула 1.32¢):

Задача 15. Вычислить максимальное значение температуры тепловыделяющего элемента (ТВЭЛ) ядерного реактора, имеющего форму неограниченной плоской пластины. Производительность равномерно распределенных по объему пластины внутренних источников тепла q_V =90 МВт/м³,температуры поверхности пластины равны t_W1 =1500°С и t_W2 =2000°С, толщина пластины d =20 мм. Коэффициент теплопроводности материала пластины l = 17 Вт/м×град. Также определить закон изменения температуры внутри пластины и расстояние х₀ от поверхности пластины с температурой t_W1 до сечения, в котором t = t_max.

Рисунок 1.20

Решение: Уравнение стационарной теплопроводности для плоской пластины с внутренними источниками тепла:

Граничные условия:

при х = 0 t=t_W1;

при х = d t=t_W2.

Общее решение уравнения (формула 2-133/14/):

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ будут равны:

С₂ = t_W1.

Откуда:

Максимальное значение температуры будет при х=х₀.

В точке х=х₀ т.е.:

Производим вычисления:

Задача 16. Рассчитать распределение температуры в поперечном сечении тепловыделяющего элемента (ТВЭЛ), имеющего форму длинного полого цилиндра с внутренним диаметром d₁=16 мм и наружным d₂=26 мм, выполненного из урана. Коэффициент теплопроводности урана l_у= 31 Вт/м×град. Обе поверхности ТВЭЛа покрыты плотно прилегающими оболочками из нержавеющей стали толщиной 

d =0,5 мм. Коэффициент теплопроводности нержавеющей стали l_ст=21 Вт/м×град. Объемная плотность тепловыделения в уране принята равномерной по сечению и равной q_V=5×10⁷ Вт/м³. ТВЭЛ охлаждается газообразной двуокисью углерода СО₂, движущейся по внутреннему каналу с внешней стороны ТВЭЛа. Среднемассовая температура СО₂ во внутреннем канале t_f1=200°С, во внешнем канале t_f2 =240°С. Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей оболочек к газу соответственно равны a₁=520 Вт/м²×град и a₁=560Вт/м²×град. Определить максимальную температуру ТВЭЛа t₀, температуры на поверхностях оболочек t_W1 и t_W2 и на поверхностях урана t₁ и t₂.

Рисунок 1.21

Решение: Тепло отводится через внутреннюю и наружную поверхности ТВЭЛа. При двусторонней теплоотдаче внутри цилиндрической стенки существует максимум температуры. Изотермическая поверхность, соответствующая максимальной температуре t₀, разделяет цилиндрическую стенку на два слоя. Во внутреннем слое тепло q₁ передается внутрь трубы, во внешнем слое тепло q₂ отводится наружу. Максимальной температуре соответствует диаметр d₀ или радиус r₀. Максимальные перепады температур во внешнем и внутренних слоях цилиндрической урановой стенки определяются уравнениями (формулы 1.32¢, 1.35):

Здесь r₁ и r₂, соответственно, внутренний и внешний радиусы цилиндрической стенки.

Из совместного решения этих уравнений для r₀ получим:

.

Введем в рассмотрение эффективные коэффициенты теплоотдачи от поверхностей ТВЭЛа к охлаждающему газу во внутреннем и внешнем каналах ТВЭЛа a_эф1 и a_эф2 по выражениям:

где

Совместное решение этих уравнений относительно r₀ приводит к выражению:

Для цилиндрической стенки тепловые сопротивления теплоотдачи на соответствующих поверхностях, определяемых диаметрами d₁, d₂, d₁-2d, d₂+2d, будут соответственно равны:

Тепловые сопротивления внутренней и внешней стенки будут равны соответственно:

, .

Из условий теплового баланса будем иметь:

Или:

Подставляя численные значения переменных, получим:

Откуда:

Плотность теплового потока на внутренней поверхности урана равна:

Температура на внутренней поверхности урана:

Плотность теплового потока на внутренней поверхности оболочки:

Температура на внутренней поверхности оболочки:

Плотности теплового потока q₂ и q_W2 и температура t₂ и t_W2 на внешней поверхности ТВЭЛа определяются аналогично:

Распределение температуры по сечению ТВЭЛа определяется уравнением (формула 1.34, r₂=r₀):

Тогда: