Примеры решения задач. Определить средний коэффициент теплоотдачи a и полную теплоотдачу для плоской пластины шириной b = 0,5 м и длиной l = 0,72 м

Задача 2.1

Определить средний коэффициент теплоотдачи a и полную теплоотдачу для плоской пластины шириной b = 0,5 м и длиной l = 0,72 м. обдуваемой воздухом со скоростью W = 30 м/с, если температура пластины t_W = 100°С и температура воздуха t_f = 20°С. Параметры воздуха при температуре 20°С:

коэффициент температуропроводности a_f = 21,4×10^-6 м²/с;

коэффициент теплопроводности l_f = 0,0261 Вт/м×град;

коэффициент кинематической вязкости n_f = 15,06×10^-6 м²/с.

Рисунок 2.8

Решение

Определяем значение критерия Рейнольдса для пластины при х = ℓ (индекс «f» означает, что в качестве определяющей температуры берется температура набегающего потока, т.е. t_f =20°С):

.

Значение критерия Re_f =1,43×10⁶, соответствует значению критерия Re_f=4×10⁶в режиме перехода ламинарного течения в турбулентное.

Считая, что на пластине развивается режим турбулентного движения, будем иметь (формула 2.18):

Значение критерия Прандтля для воздуха при температуре 20°С:

.

Параметры воздуха при температуре 100°С:

коэффициент температуропроводности a_W=33,64×10^-6 м²/с;

коэффициент кинематической вязкости n_W=23,13×10^-6 м²/с.

Значение критерия Прандтля для воздуха при температуре 100°С:

.

Тогда:

Коэффициент теплоотдачи будет равен:

Полная теплоотдача будет равна:

Задача 2.2

Тонкая пластина длиной ℓ₀ =2 м и шириной b=1,5 м обтекается продольным потоком со скоростью W₀=0,1 м/с и температурой t₀=20°С. Температура поверхности пластины t_W =160°С. Определить средний по длине коэффициент теплоотдачи и количество тепла, отдаваемое пластиной воздуху.

Вычислить толщину гидродинамического пограничного слоя и значения местных коэффициентов теплоотдачи на различных расстояниях от передней кромки пластины х=0,1ℓ₀; 0,2ℓ₀; 0,5ℓ₀; ℓ₀. Построить график зависимости толщины гидродинамического слоя и коэффициента теплоотдачи от относительного расстояния х/ℓ₀.

Рисунок 2.9

Решение

Параметры воздуха при температурах 120; 160°C определяем по таблице
П-3 /27/.

Определим значение критерия Рейнольдса для пластины:

Критические значения критерия Рейнольдса при переходе от ламинарного потока к турбулентному составляют 1×10⁴ - 4×10⁶.

Принимаем, что пограничный слой на пластине ламинарный.

Критерий Прандтля будет равен:

при температуре t_f =20°C:

при температуре t_f =160°C:

.

Среднее значение числа Nu_f,ℓ0 для пластины длиной ℓ₀ будет равно (формула 2.16):

где

Тогда:

Количество передаваемого тепла с обеих сторон пластины

Толщина ламинарного пограничного слоя d_л и коэффициент теплоотдачи a_х на расстоянии х от передней кромки пластины определяются выражениями:

(формула 7-10 /14/),

(формула 7-5¢ /14/),

где ;

На расстоянии х = 0,1ℓ₀

;

.

Результаты расчетов d_л и a_х в зависимости от относительного расстояния х/ℓ₀ приведены в таблице:

Рисунок 2.10 – График функции d_л= f ( )

Рисунок 2.11 – График функции α_х= f ( )

Задача 2.3

Найти поверхность теплообмена для гетерогенного реактора с графическим замедлителем. Мощность реактора Q =800 МВт. Температура стенок трубок
t_W =950°С, диаметр 20мм. В качестве охладителя использован гелий. Температура гелия на входе в реактор t₁ =150°С, на выходе t₂ =750°С, давление 10 бар. Поток нейтронов предполагается равномерным. Активная зона реактора имеет форму куба со стороной 3,0 м. Живое сечение для прохода гелия составляет 1/3 от всего сечения активной зоны.

Рисунок 2.12

Теплоемкость гелия с_p=5192 Дж×кг/град при t=0-100°С, Р=1-200 бар.

Решение

Расход гелия на охлаждение будет равен:

Площадь живого сечения для прохода гелия:

Скорость гелия в реакторе:

где ρ´ - плотность гелия, подсчитываемая при средней температуре охладителя и давлении 10 бар, т.е.:

Здесь ρ – плотность гелия при нормальных условиях (р=1,02 бар, Т₀=273 К),

Тогда:

.

.

Для вычисления коэффициента теплоотдачи a определим режим движения в трубопроводе охлаждения по величине критерия Re. В качестве определяющей температуры принимаем среднюю температуру гелия t_ср = 450°С.

Параметры гелия при t_ср = 450°С, Р = 10 бар:

с_р =5192 Дж/кг∙град, m = 3,6∙10^-5 кг/м×с, l =0,215 Вт/м∙град.

Параметры гелия при 950°С:

с_р =5192 Дж/кг∙град, m = 5,1∙10^-5 кг/м×с, l =0,3 Вт/м∙град, Рr=0,882.

;

Значение критерия Re_f >10⁴. Принимаем течение в трубах турбулентным. Поэтому расчет коэффициента теплоотдачи будем проводить по формуле 2.21:

Тогда:

Поверхность теплообмена:

Количество труб для прохода гелия:

Задача 2.4

Сопло жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) охлаждается одним из компонентов топлива – азотной кислотой, которая подается вдоль кольцевого канала. Суммарный (лучистый и конвективный удельный тепловой поток, поступающий в стенку сопла на участке между сечениями 1-1 и 2-2, равен 6 МВт/м². Массовый расход охлаждающей жидкости равен 10 кг/с. Площадь поверхности участка сопла, через которую происходит теплообмен, - 0,01 м². Средняя температура жидкости в сечении 1-1 равна 40°С. Внутренний и внешний диаметры охлаждающего тракта на участке 1-2 равны, соответственно, 120 мм и 124 мм. Определить подогрев охлаждающей жидкости и температуру стенки сопла со стороны жидкости на участке
1-2. Физические параметры азотной кислоты при 40°С: с_f=1890 Дж/кг∙град, m_f=0,75∙10^-3 Н×с/м², l_f=0,328 Вт/м∙град, r_f =1430 кг/м³.

Рисунок 2.13

Решение.

Тепловой поток, образующийся при сгорании компонентов топлива в камере сгорания ЖРД, через стенки камеры идет на нагрев охлаждающей жидкости на участке сопла 1-2 от температуры t₁ до температуры t₂. Тогда:

Здесь:

q – удельный тепловой поток, Вт/м²; f – поверхность теплообмена, м²;
с_f – удельная теплоемкость охлаждающей жидкости (азотной кислоты), Дж/кг×град; G – массовый расход, кг/с.

На участке 1-2 жидкость нагревается до температуры:

Перегрев охлаждающей жидкости, таким образом, составляет 3,2°С.

Средняя температура жидкости на участке 1-2:

.

Температура стенки сопла со стороны жидкости равна:

,

где t_f - средняя температура жидкости; a - коэффициент теплоотдачи от внутренней стенки к жидкости.

Для определения режима течения в кольцевом канале определяем значение критерия Рейнольдса.

Плоскость поперечного сечения канала

.

Здесь d₁, d₂– внутренний и внешний диаметры канала.

Скорость охлаждения жидкости

.

Критерий Рейнольдса равен:

.

Здесь d_Э – эквивалентный диаметр поперечного сечения (кольцевого канала).

Для кольцевого канала d_Э= d₂ - d₁.

Откуда:

Критерий Re_Э>1×10⁴. Принимаем течение в кольцевом канале турбулентным /27/.

Средний коэффициент теплоотдачи на внутренней стенке при турбулентном течении газов и капельных жидкостей в кольцевых каналах можно рассчитать по уравнению (2-21):

Принимаем в первом приближении t_W=40°C. Тогда из условий задачи будем иметь:

;

Pr_W = Pr_f .

Откуда:

Более точное значение температуры стенки может быть получено путем последовательного уточнения физических параметров охлаждающей жидкости.

Задача 2.5

Определить коэффициент теплоотдачи в первой ступени теплообменного аппарата атомного реактора. Средняя скорость теплоносителя (Na-25%, K-75%) W=5м/с, средняя температура t=400°С. Диаметр трубы, по которой течет теплоноситель, равен d=30мм. Тепловой поток по длине трубы принять постоянным.

Рисунок 2.14

Решение

Определяем режим течения в трубе при средней температуре теплоносителя
t_f =400°С. Параметры теплоносителя : l_f =20 Вт/м×град; n_f = 30,8×10^-8 м²/с;
a_f = 0,35×10^-4 м²/с (см. табл. 17 /20/).

Тогда:

Принимаем режим течения теплоносителя турбулентным.

Для жидких металлов для определения коэффициента теплообмена в цилиндрических трубах при турбулентном течении используется выражение (формула (2.33)):

где:

Определяем значение критерия Pe_f :

.

Откуда:

Коэффициент теплоотдачи

Задача 2.6

Железный электропровод диаметром d = 10 мм охлаждается поперечным потоком воздуха, скорость и средняя температура которого, соответственно, равны
W = 2м/с, t_f= 15°С. Определить коэффициент теплоотдачи от поверхности электропровода к воздуху и допустимую силу тока в электропроводе при условии, что температура электропровода не должна превышать t_W = 95°С. Удельное электросопротивление электропровода r = 0,98 Ом×мм²/м. Параметры воздуха при t_f = 15°С: коэффициент теплопроводности l_f = 2,552×10^-2 Вт/м×град, коэффициент кинематической вязкости n_f = 14,64×10^-6 м²/с.

Рисунок 2.15

Решение

Критерий Рейнольдса при поперечном обтекании одиночного цилиндра (трубы):

.

При обтекании одиночной трубы воздухом применяются следующие упрощенные зависимости для расчета среднего значения коэффициента теплоотдачи (формулы 2.26 и 2.27):

при Re_f = 5¸1×10³ ;

при Re_f = 1×10³¸2×10⁵ .

Тогда:

Допустимый ток в электропроводе определяется из уравнения:

где R – электрическое сопротивление электропровода длиной ℓ, т.е.:

Здесь S –поперечное сечение электропровода.

Тогда:

Задача 2.7

Определить коэффициент теплоотдачи и тепловой поток на единицу длины в поперечном потоке воздуха для трубы d =36 мм, если температура ее поверхности t_W = 80°С, температура воздуха t_f = 20°С и скорость W = 5 м/с. Параметры воздуха при t_f = 20°С: коэффициент теплопроводности l_f = 2,593×10^-2 Вт/м×град, коэффициент кинематической вязкости n_f = 15,06×10^-6м²/с.

Рисунок 2.16

Решение

Критерий Рейнольдса при обтекании равен:

;

Коэффициент теплоотдачи:

Тепловой поток на единицу длины:

Задача 2.8

Для теплообменного устройства определить коэффициент теплоотдачи от горячего воздуха, протекающего по коробу квадратного сечения (ℓ =500 мм), к стенкам труб, по которым протекает вода. Средняя по длине температура воздуха в устройстве t_f = 600°С, длина устройства 4 м, средняя скорость воздуха W= 18 м/с, расстояние между центрами труб S₁ = S₂ = 150 мм, диаметр трубы d = 75 мм, количество труб – 9.

Рисунок 2.17

Решение

Определяем режим течения воздуха в коробе по значению критерия Рейнольдса Re_Э:

где d_Э – эквивалентный диаметр короба, равный

Здесь F – сечение канала короба, по которому протекает воздух, П – полный периметр сечения F;

n_f – коэффициент кинематической вязкости.

При t = 600°С n_f = 96,89×10^-6м²/с.

Тогда:

Принимаем режим движения в коробе турбулентным, поэтому для определения коэффициента теплоотдачи a от воздуха к стенкам труб можно использовать следующую формулу для продольного омывания пучков труб:

Из условий задачи (рабочая среда – воздух) можно принять, что

Тогда:

Pr_f = 0,70;

Задача 2.9

Определить потерю тепла путем конвекции вертикальным изолированным паропроводом диаметром d = 100 мм и высотой ℓ = 4 м, если температура наружной стенки t_W = 180°С, а температура среды (воздуха) t_f = 30°С.

Рисунок 2.18

Решение

Определяем режим течения воздуха у паропровода.

При t_f = 30°С параметры воздуха равны: r_f = 1,165 кг/м³; ;n_f = 16×10^-6 м²/с;
Сp_f = 1,005 кДж/кг×град; l_f = 2,67×10^-2Вт/м×град; a_f = 22,9×10^-6 м²/с; Pr_f = 0,701;
m_f = 18,6×10^-6 Н×с/м².

При t_W = 180°С параметры воздуха равны: r_f = 0,779 кг/м³; ; Pr_f = 0,681;
Сp_f = 1,022 кДж/кг×град; l_f = 3,78×10^-2Вт/м×град; a_f = 47,5×10^-6 м²/с; n_f = 32,49 м²/с;
m_f = 25,3×10^-6 Н×с/м².

Коэффициент объемного расширения:

.

Критерий Gr _{f ,ℓ} равен:

Тогда

В условиях свободной конвекции при 10³ <Cr_f × P_f < 10⁹ – ламинарный режим течения для вертикальных поверхностей (трубы, пластины) и при Cr_f × P_f >10⁹ – турбулентный режим.

Используя формулу (2.32) получим:

Откуда

Искомая потеря тепла

Убеждаемся, что для воздуха в пределах температур 30¸180°С

Задача 2.10

Сверхзвуковой самолет летит на высоте Н=15 км со скоростью Мн=1,8 (где число Мн – число Маха, равное (Wн – скорость набегающего потока, а – скорость звука); крыло самолета имеет тонкий симметричный профиль с хордой b = 1,2 м. Определить удельные тепловые потоки аэродинамического нагрева в отдельных точках профиля крыла, расположенных от передней кромки на расстоянии =0,05; 0,1; 0,5; 0,9, если в данный момент температуры в этих точках t_W =+23; +3; -17; -37°С и полет совершается с нулевым углом атаки.

Указание: при решении задачи такое симметричное крыло можно рассматривать как тонкую пластину, пренебречь влиянием возможных скачков уплотнения у передней кромки и принять параметры воздуха на внешней границе пограничного слоя как в невозмущенном потоке.

Рисунок 2.19

Решение

1.Определяется температура восстановления по выражению (2.35):

где r = – для ламинарного пограничного слоя;

для турбулентного пограничного слоя.

Для воздуха Pr=0,7; к = 1,4; Тн =216,5К (Н=15 км), отсюда Tr = 335 и 342 К соответственно для ламинарного и турбулентного пограничных слоев.

2. Определяющая температура Т_эф вычисляется по выражению (/14/, стр.241):

в данном случае Т_d = Тн =216,5 К (согласно указанию).

Результаты расчета и соответствующие этим температурам теплофизические свойства воздуха сведены в таблицу.

3. Скорость набегающего потока воздуха:

а = 295 м/с;

Wн = 1,8×296 м/с = 533 м/с.

4. Расчет теплоотдачи в точке с температурой
t_W = +23°С:

при r_н = 0,196 кг/м³ (Н=15км) и х = 0,05в =0,05×1,2= 0,06 м имеем:

При ламинарном пограничном слое значение коэффициента теплоотдачи вычисляется по формуле (2.38):

a = 74,1 Вт/м×град;

q = a×(T_r -T_W) = 74,1×(335-296) Вт/м² = 2,88×10³ Вт/м².

5. При турбулентном пограничном слое местное значение коэффициента теплоотдачи вычисляется по формуле (2.37):

Результаты расчета получаются следующими:

Nu_эф = 1243;
a = 253,5 Вт/м²×град
q = 16,7×10³ Вт/м².

6. Расчет теплоотдачи в остальных двух точках можно вести по данным, полученным для предыдущей точки, так как в этих точках пограничный слой тоже турбулентный и отличается только своим расположением и температурой t_W (или t_эф):

Для точки с t_W = -17°C:

a = 253,5 × 0,720 Вт/м²×град = 182,6 Вт/м²×град, q =15,7 ×10³Вт/м².

Для точки с t_W = -37°:

a = 253,5 × 0,635 = 161,1 Вт/м²×град; q =17,1 ×10³ Вт/м².

Задача 2.11

Определить удельный тепловой поток аэродинамического нагрева в тех же точках профиля крыла, которые рассматриваются в задаче 2.10, если самолет летит на той же высоте со скоростью Мн =1,5 и с углом атаки крыла y = 10° (рисунок 2.20).

Рисунок 2.20

Указание: Профиль крыла рассматривается как тонкая пластина, параметры воздуха на внешней границе пограничного слоя рассчитываются снизу как за косым скачком уплотнения, а сверху как параметры воздуха после обтекания тупого угла потоком со сверхзвуковой скоростью.

Решение

На высоте Н = 15 км Тн= 216,5 К и r_н = 0,196 кг/м³ (см /13/, приложение VI, /19/, приложение)

Параметры потока воздуха за косым скачком уплотнения, обтекающего крыло снизу (с индексом d)определяется следующим образом:

1 Пользуясь графиком из /13/, приложение ХХI, находят угол наклонения фронта косого скачка a к направлению набегающего потока; если угол отклонения потока w =10° (равен углу атаки крыла y) и Мн = 1,5, то a = 58°, sina = 0,847,
sin²a = 0,715;

2. ;

.

3. ;

.

4. ;

.

5. ,

где ;

;

Параметры потока со сверхзвуковой скоростью воздуха над крылом после обтекания тупого угла (с индексом d) определяются следующим образом:

1. ;

;

.

2. Пользуясь графиком приложения XXI, /13/, находим значение приведенной скорости после обтекания тупого угла ; если , то ;

3. ;

4.

5.

6.

Для определения коэффициентов теплоотдачи и удельного теплового потока как снизу, так и сверху крыла используется метод, изложенный в задаче 2.10

Результаты расчета сведены в таблицу.

Задача 2.12

В теплообменном аппарате жидкость с водяным эквивалентом
С₁= 116 Вт/град охлаждается от t₁¢= 120°C до t₁²= 50°С водой при температуре t₂¢=10°С для которой С₂=584 Вт/град. Определить потребную поверхность нагрева при схеме прямотока и противотока, если коэффициент теплопередачи к=2336 Вт/м²×град.

Рисунок 2.21 Схемы движения теплоносителей в теплообменниках

Рисунок 2.22 Характер изменения температуры теплоносителей при
прямотоке (а) и противотоке (б) при , F - поверхность теплообмена.

Решение

Конечная температура воды определяется соотношением (формула(2.42)):

.

Откуда:

а) при прямотоке:

;

;

.

Среднелогарифмический напор (формула (2.46)):

.

Потребная поверхность нагрева при прямотоки равна:

б) при противотоке:

;

.

Среднелогарифмический напор :

.

Потребная поверхность нагрева при прямотоки равна:

.