Произведение матриц

 

Под произведением двух матриц А и В понимается матрица С = АВ, элементы которой определяются путем умножения i-й строки первой матрицы на j-и столбец второй матрицы и полученные произведения складываются. Таким образом,

где ,

Процесс формирования произведения для быстрого запоминания можно облечь в следующую схему. Для иллюстрации рассмотрим перемножение двух матриц размерности 3×3.

Первая строка умножается на первый столбец. Результат перемножения складывается. Образуется элемент матрицы с11.

Вторая строка умножается на первый столбец. Результат перемножения складывается. Образуется второй элемент первого столбца с21.

Третья строка умножается на первый столбец. Результат умножения складывается, образуя последний элемент c31 первого столбца.

Операции по формированию элементов второго и третьего столбцов выполняются аналогично.

, , , , , .

Произведение матриц А и В имеет смысл только в предположении, что число столбцов „матрицы А равно числу строк матрицы В. По этой причине произведение прямоугольной матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец. произведение вектор - строки на вектор-столбец есть матрица, состоящая из одного элемента.

Обычная скалярная алгебра подчиняется шести с законам:

1) Закон коммутативности сложения:

.

2) Закон ассоциативности сложения:

.

3) Закон коммутативности умножения:

.

4) Закон ассоциативности умножения:

.

5) Закон дистрибутивности умножения:

, ;

6) Неразложимость нуля на множители, отличные от нуля: если , то либо , либо , либо .

В операциях с матрицами законы 1, 2, 4 и 5 выполняются всегда. Однако законы 3 и 6 не соблюдаются. Закон 3 нарушается в силу того, что при перемножении матриц строки первой матрицы комбинируются со столбцами второй матрицы по изложенному выше правилу несимметрично. Такое несимметричное «перемешивание» элементов перемножаемых матриц между собой приводит к тому, что в общем случае

В тех случаях, когда операция умножения коммутативна, т. е. , матрицы называются коммутативными (иногда коммутирующими) или перестановочными. Например, диагональные матрицы при умножении всегда коммутируют между собой, причем произведение диагональных матриц, в свою очередь, также является диагональной матрицей.

Скалярная матрица коммутирует с любой квадратной матрицей одинакового порядка. Это же свойство относится и к единичной матрице Е. Она выполняет такую же роль, как единица среди обычных скалярных величин:

, .

Кроме того, всегда соблюдается равенство

Каждая матрица коммутирует сама с собой и со своей произвольной целой положительной степенью.

Если производится умножение матрицы А слева на некоторую диагональную матрицу D, это соответствует операциям со строками, если умножение выполняется справа, - со столбцами.

Пример 4.1. Умножение матрицы А слева на диагональную матрицу D эквивалентно умножению каждой строки матрицы А на соответствующий диагональный элемент:

Пример 4.2. Умножение справа на D сводится к умножению элементов каждого столбца на соответствующий элемент диагонали:

Пример 4.3. Коммутируемость диагональных матриц:

Скалярная матрица (матрица, у которой диагональные элементы равны между собой) равна произведению единичной матрицы на скалярную величину. В качестве примера перемножим две скалярные матрицы:

Справедливо следующее правило транспонирования произведения. Транспонированное произведение матриц равно произведению двух транспонированных матриц и , перемноженных в обратной последовательности:

Произведение любой матрицы на свою транспонированную является симметрической матрицей. Например,

Следовательно, если А - симметрическая матрица, то матрица - также симметрическая.

Произведение обратных матриц подчиняется тому же свойству перестановки сомножителей, что и произведение транспонированных матриц, а именно

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц:

При образовании произведения нескольких матриц множители в силу ассоциативности закона умножения можно группировать как угодно, при условии, что порядок перемножения сомножителей не нарушается.

При умножении матрицы ранга r на неособенную справа или слева ранг произведения остается равным r.








Дата добавления: 2014-12-27; просмотров: 7112;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.01 сек.