Окружность и круг.

Определение. Окружностью называется фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, каждая из которых находится на данном расстоянии r от некоторой точки О этой плоскости. Точка О называется центром окружности, а отрезок, соединяющий точку О с любой точкой окружности, – ее радиусом. Все радиусы окружности имеют длину r. Число r также называется радиусом окружности.

	Определение. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Определение. Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей. Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
Две произвольные точки А и В окружности разбивают все точки окружности, отличные от А и В, на два множества. Определение. Фигура, состоящая из объединения каждого из этих множеств с точками А и В называются дугой окружности, а точки А и В – концами двух этих дуг. Определение. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром. Определение. Угол, вершина которого совпадает с центром О окружности, называется ее центральным углом. Введем понятие градусной меры дуги. Если дуга АВ окружности с центром О не больше полуокружности, то градусной мерой этой дуги считают градусную меру центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной . Отсюда следует, что градусная мера полуокружности равна , а сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами А и В равна . Свойства градусных мер дуг окружностей.
	1. Если точка М лежит на дуге АВ, то градусная мера дуги АВ равна сумме градусных мер дуг АМ и МВ. 2. Две дуги одной окружности или двух окружностей с равными радиусами равны тогда и только тогда, когда они имеют равные градусные меры. 3. Две дуги окружности, заключенные между параллельными секущими, равны.

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема 37. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствие. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В частности, вписанные в окружность углы, опирающиеся на полуокружность, прямые.

Углы между касательными, хордами и секущими.

	1. Градусная мера угла, вершина которого расположена внутри окружности, равна полусумме градусных мер дуг, одна из которых та, на которую опирается данный угол, а другая – на которую опираются продолжения лучей данного угла. .
2. Градусная мера угла, вершина которого расположена вне окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые опирается данный угол, причем из большей меры надо вычесть меньшую.
.	Это утверждение верно, если
	– оба луча – секущие; – один луч – секущий, а второй направлен по касательной; – оба луча направлены по касательным.
	3. Градусная мера угла, одна из сторон которого направлена по хорде, а другая по касательной к окружности, равна половине градусной меры дуги окружности, заключенной внутри угла. .
	4. Диаметр окружности перпендикулярен к хорде, не проходящей через центр окружности, тогда и только тогда, когда он проходит через середину хорды. 5. Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда она проходит через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенного в эту точку.

Соотношения между хордами, радиусами и отрезками секущих и касательных.

	1. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две касательные к данной окружности, то длины отрезков, заключенных между данной точкой и точками касания, равны.
	2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. .
	3. Если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то произведение отрезков, заключенных между данной точкой и точками пересечения секущей с окружностью равно квадрату отрезка, заключенного между данной точкой и точкой касания окружности касательной. .
	4. Если из точки вне окружности проведены две секущие, то произведение длин отрезков, заключенных между данной точкой и точками пересечения с окружностью одной секущей равно произведение длин отрезков, заключенных между данной точкой и точками пересечения с окружностью другой секущей.