Вписанные и описанные многоугольники.

Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в многоугольник.

Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в эту окружность, а окружность – описанной около треугольника.

Вписанная окружность	Описанная окружность
Треугольник Центр – точка пересечения биссектрис. .	Центр – точка пересечения серединных перпендикуляров. .
Параллелограмм НЕТ	НЕТ
Ромб Центр – точка пересечения диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба, т.е. .	НЕТ
Прямоугольник   НЕТ	Центр – точка пересечения диагоналей. Радиус окружности равен половине длины диагонали прямоугольника, т.е. .
Квадрат Центр – точка пересечения диагоналей. Радиус окружности равен половине длины стороны квадрата, т.е. .	Центр – точка пересечения диагоналей. Радиус окружности равен половине длины диагонали квадрата, т.е. .
Трапеция Центр – точка пересечения биссектрис. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны, т.е. . Радиус окружности равен половине длины высоты трапеции, т.е. .	Центр – точка пересечения серединных перпендикуляров. Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная. Радиус окружности можно найти как радиус описанной окружности около треугольника, вершинами которого являются вершины трапеции (любые три из четырех у трапеции).
Произвольный выпуклый четырехугольник Центр – точка пересечения биссектрис. В произвольный выпуклый четырехуголь-ник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны, т.е. . Общего способа и формулы для вычисления длины радиуса нет.   .	Центр – точка пересечения серединных перпендикуляров. Около произвольного выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны . Радиус окружности можно найти как радиус описанной окружности около треугольника, вершинами которого являются вершины данного четырехугольника (любые три из его четырех). Теорема 39. (Птолемея). В четырехуголь-нике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Определение. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все углы равны и стороны равны.

Теорема 38. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

Теорема 39. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Площадь S правильного n-угольника, сторона an, периметр P и радиусы r вписанной окружности и R описанной окружности связаны соотношениями: ; ; .