Многоугольники.

Определение. Многоугольник называется выпуклым,если каждая прямая, проходящая через две его соседние вершины, является границей полуплоскости, в которой лежат остальные вершины многоугольника.

Теорема 29. Четырехугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.

Следствие. Диагонали невыпуклого четырехугольника не имеют общих точек.

Теорема 30. В любом четырехугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Следствие. Прямые, содержащие диагонали любого четырехугольника, пересекаются.

Теорема 31. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон.

Теорема 32. Каждая диагональ выпуклого n-угольника, где n > 3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.

Теорема 33. Сумма всех углов выпуклого п-угольника равна (n – 2)•180°.

Перейдем к рассмотрению частных случаев многоугольников. Очевидно, что наибольший интерес из них представляют четырехугольники.

Трапеция

Определение. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.

Определение. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные – боковыми сторонами.

Определение. Трапеция называется равнобедренной (равнобочной, равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Определение. Трапеция называется равносторонней, если длины боковых сторон равны и равны одному (большему или меньшему) из оснований.

Теорема 34. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны.

Теорема 35. Трапеция является равнобедренной, ее ли выполняется хотя бы одно из условий:

а) углы при одном основании равны;

б) диагонали равны.

Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Теорема 36. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рассмотрим параллелограмм и его частные случаи. При этом будем формулировать определения фигур и их свойства.

Параллелограмм Определение. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Свойства 1°. Противоположные стороны равны. 2°. Противоположные углы равны. 3°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° 4°. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 5°. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. 6°. Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника, попарно равных между собой и все четыре равновелики.

(равенство сторон) (равенство углов)

Ромб Определение. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Свойства 1°–5°. 6°*. Диагонали делят ромб на четыре равных треугольника. 7°. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 8°. Диагонали ромба – биссектрисы внутренних углов ромба.

Прямоугольник Определение. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Свойства 1°–6°. 9°. Диагонали прямоугольника равны.

(равенство углов) (равенство сторон)

Сформулируем основные признаки рассмотренных фигур.

Параллелограмм. Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1°. Две противоположные стороны равны и параллельны.

2°. Противоположные стороны попарно равны.

3°. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.