Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. 1.50. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7)
1.50. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7), r = 5; 2) С (–6; 3), r = 3) С (3; –2), r = 3.
1.51. Окружность с центром в точке S (12; –5) проходит через начало координат. Составить уравнение этой окружности.
1.52. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой 12х + 5у + 60 = 0, заключенный между осями координат.
1.53. Известно, что концы одного из диаметров окружности находятся в точках (2; –7) и (–4; 3). Составить уравнение окружности.
1.54. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей х + у = 5 и х + у + 2х + 4у = 31. Найти отношение их радиусов..
1.55. Найти уравнение диаметра окружности х + у – 6х + 14у – 6 = 0, перпендикулярного хорде х – 2у = 2.
1.56. Найти полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса: 1) 9х + 25 у – 225 = 0; 2) 16х + 25у = 400.
1.57. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот следующих гипербол:
1) 4х – 5 у – 100 = 0; 2) 9х – 4 у – 144 = 0;
3) 16х – 9 y + 144 = 0; 4) 9х – 7 у + 252 = 0.
1.58. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса + = 1.
1.59. Составить уравнение параболы, проходящей через точки:
1) (0; 0) и (–1; –3) симметрично относительно оси ОХ;
2) (0; 0) и (2; –4) симметрично относительно оси ОУ.
1.60. Директрисой параболы, вершина которой находится в начале координат, является прямая 2х – 3 = 0. Составить уравнение параболы и найти ее фокус.
1.61. Найти уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси ОХ, точка пересечения прямых у = х и
х + у – 2 = 0 лежит на параболе и вершина параболы находится в точке с абсциссой, равной 0,5.
1.62. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через центр гиперболы у = , и вершину параболы у = – 2х + 5х – 2.
1.63. Вершина параболы лежит в конце одного из диаметров окружности х + у = 9. Составить уравнение параболы, если общая хорда параболы и окружности лежит на прямой у – 2 = 0.
1.64. Составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности х2 + у2 + 4х + 12у +15 = 0 параллельно прямой х + у = 0.
1.65. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат и проходящей через точку А(– 2; –3). Найти фокус и директрису параболы.
1.3.3. Прямая и плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax + By + Cz + D = 0 .
A (x–х0) + B (y–y0) + C (z–z0) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, где (А, В, С) – вектор, перпендикулярный плоскости – нормаль.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
,
где (m, n, p) – направляющий вектор прямой.
Взаимное расположение прямых и плоскостей определяется из условий параллельности и перпендикулярности нормали и направляющего вектора.
Пример 1.11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М(1; –2; 3) и перпендикулярной вектору = (3; –4; 5).
Решение.
Нормаль – это вектор, перпендикулярный плоскости (см. рис.1.4). В качестве можно взять .
Рис. 1.4. Перпендикулярность плоскости вектору
Тогда уравнение плоскости, перпендикулярной вектору =(3; –4; 5) и проходящей через точку М(1; –2; 3) имеет вид:
3(х – 1) – 4(y+2) + 5(z – 3) = 0 или 3х – 4y + 5z – 26 = 0.
Пример 1.12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М0 (3; –2; 4), перпендикулярно плоскости 5х +3у –7z +1 = 0.
Прямая перпендикулярна плоскости (рис. 1.5), значит, в качестве её направляющего вектора можно взять нормаль плоскости, т. к. они коллинеарны. . И известна точка, через которую проходит прямая. Используем каноническое уравнение, получаем:
. М =
Рис. 1.5. Перпендикулярность прямой и плоскости
1.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , если:
1) (2; –3; 1), = (5; 1; –4); 2) (1; 0; 1), = (1; –2; 3).
1.67. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и точку , если: 1) (2; –4; 3); 2) (–1; 2; –4).
1.68. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; –2; 3): а) перпендикулярной вектору = (3; –4; 5); б) параллельной плоскости
3х – 4у + 5z + 6 = 0; в) точку М1(0; 2; 5) и параллельной оси Оу; г) проходящей через ось Оz.
1.69. Найти проекцию В точки А(5; 2; –1): а) на плоскость 2х – у + 3z + 23 = 0; б) на прямую .
а) Решение.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точку А (5; 2; –1) и перпендикулярной плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем нормаль к плоскости = (2; – 1; 3):
.
Запишем параметрическое уравнение прямой:
х = 5 + 2 t;
у = 2 – t;
z = –1 +3 t.
Найдем пересечение прямой и плоскости, для этого подставим полученные выражения в уравнение плоскости, получим:
2(5 + 2t) – (2 – t) + 3(–1 + 3t) + 23 = 0, откуда t = –2, т. е. точка пересечения имеет координаты хв = 1; ув = 4; zв = –7.
Ответ: В(1; 4; –7).
б) Для того чтобы найти проекцию точки на прямую, надо:
· построить плоскость, проходящую через заданную точку, перпендикулярно прямой;
· найти пересечение этой плоскости с прямой.
1.70. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2; –3; 1) параллельно векторам = (–3; 2; –1) и = (1; 2; 3)
1.71. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2; –15; 1) и М2(–1; 1; –1) параллельно прямой, определяемой точками А(5; –2; 3) и В(6; 1; 0).
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 1162;