Основные определения, формулы и соотношения

2.1. Измерение сопротивления на постоянном токе с помощью амперметра и вольтметра

где r’_x – приближенное значение измеряемого сопротивления;

U – показания вольтметра;

I – показания амперметра.

Если вольтметр подключен непосредственно к зажимам измеряемого сопротивления (рис. 18а), то

где r_x - точное значение измеряемого сопротивления;

r_В – сопротивление вольтметра;

- относительная погрешность измерения ;

- абсолютная погрешность измерения .

Без большой ошибки в формулах погрешностей можно заменить на .

Если же вольтметр подключен к зажимам последовательно соединенных амперметра и измеряемого сопротивления (рис. 18б), то точное значение измеряемого сопротивления равно

где r_А – сопротивление амперметра.

2. 2. Измерение сопротивления на переменном токе с помощью амперметра, вольтметра и ваттметра (рис. 19)

где r - активная составляющая сопротивления;

х - реактивная составляющая сопротивления.

С помощью амперметра, вольтметра и ваттметра можно измерить отдельно активное и реактивное сопротивления:

где I, U и Р - показания амперметра, вольтметра и ваттметра.

Точные значения активной и реактивной составляющих при такой схеме включения будут равны:

где r_А и х_А – суммы активных и реактивных сопротивлений амперметра и последовательной обмотки ваттметра.

2.3. Измерение сопротивления одним прибором, если известно сопротивление прибора. По схеме рис. 20а

где r_В - сопротивление вольтметра;

U₁ - показание вольтметра, когда переключатель стоит в положении 1;

U₂ - показание вольтметра при установке переключателя в положение 2.

По схеме рис. 20б

где r_А - сопротивление миллиамперметра или гальванометра;

r₀ - известное сопротивление;

I₁ - показание прибора при установке переключателя в положение 1;

I₂ - то же при установке переключателя в положение 2.

2.4. Измерение сопротивления одинарным мостом постоянного тока (рис. 21)

где r_x - измеряемое сопротивление;

r₂ - плечо сравнения;

r₃ - плечо отношения;

r₄ - плечо отношения.

Очень часто при проектировании моста сопротивлений, для определения напряжения питания и подборе электрического сопротивления указателя необходимо знать сопротивление моста относительно диагонали питания (когда мост находится в равновесии) и сопротивление относительно выходной диагонали, куда включается указатель равновесия (рис.21):

2.5. Для измерения параметров электрических цепей переменного тока используются мосты переменного тока, рис. 22.

Условие равновесия моста переменного тока имеет вид

Если представить в показательной форме , где - модуль, а - сдвиг по фазе тока в плече относительно напряжения питания, то получим из условия равновесия

Если представить в комплексной форме , получим систему уравнений

Если в схему моста включены реактивные элементы без потерь, то для схемы рис. 23а справедливы соотношения

а для схемы рис. 23б

Для мостов, в которых измеряются реактивные элементы с потерями, фазовые соотношения не столь просты и очевидны.

2.6. Измерение емкости. Наиболее распространенный способ измерения емкости - это четырехплечий мост для сравнения емкостей известной и неизвестной (рис. 24).

В этом случае получаем:

где С_х - неизвестная емкость, включенная в одно из плеч моста;

С₀ - образцовая емкость;

r₀ - образцовое сопротивление;

r_x - сопротивление, эквивалентное потерям в конденсаторе С_х;

r₁ и r₂ - два плеча, содержащие регулируемые активные сопротивления.

Тангенс угла потерь испытуемого конденсатора находится из выражения

2.7. Измерение индуктивности методом сравнения неизвестной индуктивности с образцовой (рис. 25). При последовательном включении активного сопротивления r и r_x (переключатель в положении 2) получаем следующие выражения для искомых значений L_x и r_x:

Если сопротивление r включено неправильно, мост уравновесить нельзя.

Однако мост для измерения индуктивности по схеме рис. 25 употребляется довольно редко, т.к. образцовая индуктивность в смежном плече с плечом имеет невысокий класс точности. Более точным мост получится в том случае, если в плечо, противоположное плечу включить образцовую емкость. В этом случае схема моста " " имеет вид рис. 26.

При равновесии моста получим

Добротность катушки будет равна

2.8. Рассмотренные выше мосты являются уравновешенными. В практике измерений параметров цепей и измерения неэлектрических величин электрическими методами часто используются неуравновешенные мосты, когда измеряемый параметр, включенный в плечо моста, выражается через ток или падение напряжения указателя равновесия. Для схемы моста, изображенной на рис. 21, выражение для тока в указателе равновесия имеет вид

где - напряжение питания моста.

Обычно неуравновешенные мосты являются либо симметричными, когда значения плеч попарно равны между собой , либо равноплечными, когда значения всех плеч перед измерением равны между собой, т.е. . Если по какой либо причине в одном из плеч моста сопротивление изменилось на величину , то для симметричного моста сопротивления выражение для тока через указатель приобретает вид

а для равноплечного моста

при условии, что , что обычно на практике выполняется в той или иной степени.

В мостах переменного тока, где плечи обозначаются через , обычно в диагональ моста включают электронный вольтметр, у которого входное сопротивление . В этом случае напряжение, которое покажет вольтметр при появлении в одном из плеч приращения будет равно

для симметричного моста и

для равноплечного моста.

Если в таких мостах используются дифференциальные датчики(емкостные, индуктивные, тензодатчики), когда одно из плеч увеличивает свое сопротивление на величину , а другое уменьшает на такую же величину, то величина сигнала ( или ) в диагонали моста увеличивается в два раза.

Для мостов, у которых в качестве указателя используется миллиамперметр с относительно малым сопротивлением , получим для симметричного моста с дифференциальным датчиком

и

для равноплечного моста.

Для мостов, у которых в качестве указателя используется электронный вольтметр с большим сопротивлением , получим для симметричного моста с дифференциальным датчиком

и

для равноплечного моста.

2.9. Измерение деформаций с помощью дифференциального тензодатчика.

Тензодатчики изменяют свое электрическое сопротивление под действием приложенных к нему сил и моментов сил. Тензорезистор, наклеенный на деформируемую деталь, воспринимает силы, вызывающие деформацию детали. Тензорезисторы изготовляются из металлов (например, из константана) или полупроводников. В пределах упругих деформаций для проволочного тензорезистора относительное изменение сопротивления проволоки связано с ее относительным удлинением соотношением

где - начальные длина и сопротивление проволоки; - их приращения; - коэффициент тензочувствительности.

Если возникает необходимость измерения деформации консольно закрепленной балки, то один тензодатчик наклеивают на балку сверху, а другой снизу. Под действием силы, изгибающей балку, верхняя ее часть растягивается, а нижняя сжимается, причем величины деформации равны по величине, но противоположны по знаку. Можно считать, что тензодатчики, наклеенные таким образом на балку, образуют один дифференциальный датчик. Если эти тензорезисторы (тензодатчики) включить в плечи равноплечного неравновесного моста постоянного тока, то можно получить зависимость показаний миллиамперметра, включенного в измерительную диагональ, от величины изменения сопротивления тензорезисторов и, в конечном счете, от величины деформации, см. п. 2.8.

2.10. Измерение температуры с помощью термометра сопротивлений. В диапазоне температур от 0⁰ до 180⁰С зависимость сопротивления проводника от температуры описывается приближенной формулой

где - температурный коэффициент сопротивления проводника; - сопротивление проводника при температуре ; - сопротивление проводника при 0⁰С.

Если такой проводник (например, сопротивление из меди) включить в одно из плеч равноплечного моста, то при изменении сопротивления меди при изменении температуры предварительно уравновешенный мост выйдет из равновесия. В цепи указателя равновесия моста появится ток

где .

Ток в диагонали моста определит температуру нагрева проводника.

В некоторых случаях регулировкой плеча моста добиваются нового равновесия моста, определяют , а затем вычисляют температуру нагрева.

ЗАДАЧИ

89. Вольтметр и амперметр имеют следующие показания и характеристики: вольтметр: U = 200 В; шкала 300 В; класс, точности 1,0; амперметр: I = 12 А; шкала 15 А, класс точности 1,0; сопротивление r = 10 Ом.

Определить наибольшую относительную и абсолютную погрешности при измерении неизвестного сопротивления r_х методом амперметра и вольтметра, если последовательно с неизвестным сопротивлением включено известное сопротивление, как показано на рис. 27.

90. Для измерения неизвестного сопротивления r_х по методу амперметра и вольтметра воспользовались магнитоэлектрическими амперметром и вольтметром. При проведении измерений были выполнены две схемы соединений приборов, изображенных на рис. 28а и 28б.

Амперметр при номинальном токе I_н = 10 А имеет падение напряжения DU_a = 75 мВ; вольтметр при номинальном значении напряжения U_н = 150 В имеет ток полного отклонения I_н-в = 8,5 мА.

Какова величина погрешностей измерений, выполненных по этим схемам, если амперметры показали практически одну и ту же величину I = 10 А, а вольтметры - одинаковое напряжение U = 80 В?

91. В цепи переменного тока измерены: ток 2 А, напряжение 220 В и мощность 380 Вт. Все изменения произведены приборами класса 0,5. амперметра 2,5 А; вольтметра 300 В.

Вычислить полное и активное сопротивления цепи, cosj и погрешность измерения Z.

92. Известно, что вольтметр показал 100 В, амперметр 2,5 А сопротивление вольтметра 10000 Ом, а сопротивление амперметра 1 Ом.

Определить сопротивление приемника энергии методом амперметра и вольтметра (рис.28а, б)

Оценить, с какой относительной и абсолютной погрешностями будет определено сопротивление r_х по этим схемам.

93. Амперметр и вольтметр включены по схеме рис. 28а. Показание вольтметра равно 150 В, амперметра 0,5 А, сопротивление вольтметра 2500 Ом.

Определить сопротивление r_х, абсолютную и относительную погрешности измерения.

94. Амперметр и вольтметр включены по схеме рис. 28б; вольтметр показал 40 В, амперметр 4 А. Сопротивление амперметра равно 1 Ом.

Определить сопротивление r_х по показаниям приборов и вычислить относительную и абсолютную погрешности.

95. Для измерения сопротивления r_х используется метод амперметра и вольтметра. Приборы включены по схеме рис. 28а. Сопротивление вольтметра равно 2000 Ом, миллиамперметра – 50 Ом.

Определить величину сопротивления r_х, если вольтметр показал 8 В, а миллиамперметр 20 мА. Какова будет относительная погрешность измерения, если сопротивление r_х определить по показаниям приборов? Решить задачу и для схемы рис. 28б.

96. R_х измеряется методом амперметра и вольтметра. Амперметр состоит из миллиамперметра с током 5 мА, сопротивлением 200 Ом и шунта R_ш = 0,1 Ом. Показание амперметра 2,5 А. Вольтметр состоит из такого же миллиамперметра и добавочного резистора R_д = 10000 Ом. Показание вольтметра 50 В. Определить R_х и наименьшую относительную погрешность его измерения. Измерения производятся по схемам 28 а, б.

97. R_х измеряется методом амперметра и вольтметра. Амперметр состоит из миллиамперметра с током 1 мА, сопротивлением 100 Ом и шунта R_ш = 0,1 Ом. Показание амперметра 2 А. Вольтметр состоит из такого же миллиамперметра и добавочного резистора R_д = 10000 Ом. Показание вольтметра 100 В. Определить R_х и наименьшую относительную погрешность его измерения. Измерения производятся по схемам 28 а, б.

98. R_х измеряется по схеме, приведенной на рис. 29. Показания приборов 1 А и 15 В. Сопротивления приборов: R_A = 1 Ом; R_V = 10 кОм. Определить R_x и относительную погрешность измерения.

Рис. 29.

99. R_х измеряется по схеме, приведенной на рис.30. Показания приборов 0,5 А и 15 В. Сопротивления приборов: R_A = 0,1 Ом; R_V = 10 кОм. Определить Rx и относительную погрешность измерения.

Рис. 30.

100. Для измерения сопротивления r_х по схеме рис. 28а использованы: вольтметр класса точности 0,5 с верхним пределом измерения 15 В и амперметр класса точности 0,5 с верхним пределом измерения 2,5 А. Вольтметр показал 10 В, амперметр - 2,2 А.

Определить величину сопротивления r_х и погрешность его определения с учетом класса точности приборов и с учетом сопротивления приборов. Ток полного отклонения вольтметра равен 300 мА.

101. Для измерения неизвестного сопротивления r_х методом амперметра и вольтметра собрана схема рис. 28а. Использованы приборы: амперметр на 0,5 А класса точности 0,5 и вольтметр; на 150 В класса точности 0,5. Номинальный ток вольтметра 45 мА. Вольтметр показал 100 В, амперметр 0,28 А.

Определить величину сопротивления r_х и погрешность измерения с учетом класса точности приборов.

102. Определить погрешность измерения сопротивления r_х при помощи моста постоянного тока (рис. 31), если погрешности изготовления сопротивлений плеч мостовой схемы r₂, r₃, r₄, выраженные в относительных значениях, равны:

Решение. Из уравнения равновесия моста

следует, что

то есть

Для определения относительной погрешности результата воспользуемся выражением

После дифференцирования получим

103. R_х измеряется методом амперметра и вольтметра. Амперметр состоит из миллиамперметра с током 5 мА, сопротивлением 100 Ом и шунта R_ш = 0,1 Ом. Показание амперметра 2А. Вольтметр состоит из такого же миллиамперметра и добавочного резистора R_д = 10000 Ом. Показание вольтметра 100 В. Определить R_х и наименьшую относительную погрешность его измерения (рис. 28 а, б).

104. Имеется мост переменного тока для измерения емкости (мост "С"). Найти значение емкости С_х, если при равновесии моста С₂ = 0,5 мкФ, r₃ = 100 Ом, r₄ = 1×10³ Ом. Считать, что резисторы r₃ и r₄ – чисто активные элементы, а C_x, С₂ – реактивные элементы. Проверить отвечает ли схема данного моста фазовому уравнению (рис. 32).

105. Имеется мост переменного тока для измерения индуктивности (мост "L"). Нужно измерить параметры индуктивности L_х и r_x, если значения плеч при равновесии моста равны: r₂ = 1×10² Ом, r₄ = 1×10³ Ом, r₃ = 1×10⁴ Ом и С₃ = 0,1 мкФ (рис. 33).

106. Имеется мост переменного тока для измерения индуктивности (мост "L"). Найти значение L_х, если при равновесии моста r₂ = 200 Ом, r₄ =

2×10³ Ом, и С₃ = 0,5 мкФ. Считать, что r₂ и r₄ – чисто активные элементы, а С₃ и L_х – реактивные элементы. Проверить отвечает ли данный мост фазовому уравнению, рис. 34.

107. Имеется мост для измерения емкости (мост "С"). Нужно найти С_х и r_x (параметры плеча, куда включена емкость) при условии, что равновесие моста имеет место при: r₃ = 1×10² Ом, r₄ = 1×10³ Ом, С₂ = 0,1 мкФ; r₂ = 1×10³ Ом, рис. 35.

108. Измерить малые перемещения ферромагнитного сердечника индуктивного дифференциального датчика, включенного своими обмотками в смежные плечи равноплечного моста переменного тока, рис. 37, 38. Данные датчика: напряжение питания В, величина воздушного зазора мм, площадь поперечного сечения магнитопровода датчика мм², число витков в обмотке w = 200. Считать, что . В диагональ моста включен электронный вольтметр на пределе 15 В. Его показание 8 В. Вычислить так же индуктивность одинарного датчика и его сопротивление, если частота питания 1500 Гц.

Решение. Пренебрегая магнитным сопротивлением ферромагнитных участков магнитной цепи одинарного датчика, можно рассчитать его индуктивность

При перемещении сердечника дифференциального датчика на величину х (например, вправо) индуктивность одинарных датчиков изменится и будет равна

Изменение индуктивности одинарных датчиков при этом перемещении будет равно

Величиной в знаменателе можно пренебречь, т.к. .

Итак получим

т.е.

Т.к. у подобных датчиков , то полное сопротивление датчиков будет равно

и

Так как мост равноплечный, то показание вольтметра в диагонали моста при выходе моста из равновесия равно

Применительно к нашей задаче получим

Индуктивность одинарного датчика

Сопротивление датчика

109. На рис. 39б представлена уравновешенная мостовая схема. Потери в конденсаторе С₁ учитываются сопротивлением r₁. Известно, что r₃ = 100 Ом, r₄ = 1000 Ом, С₂ = 0,05 мкФ, С₄ = 0,1 мкФ, мост питается напряжением переменного тока частоты f = 100 Гц, конденсаторы С₂ и С₄ без потерь.

Определите величины r₁, C₁, tgδ, где δ - угол потерь конденсатора.

110. Найдите зависимость тока в гальванометре четырехплечего моста (рис. 40) от изменения сопротивления r₁ при следующих параметрах моста: r₂ = 300 Ом, r₃ = 50 Ом, r₄ = 150 Ом, r_г = 200 Ом, r_п = 10 Ом, E = 10 В.