С явными потерями и простейшим потоком вызовов

В полнодоступном пучке обслуживающих приборов любой вход может быть соединен с любым свободным выходом. Рассмотрим однозвенную неблокирующую коммутационную схему, на которую поступает простейший поток вызов с параметром , дисциплина обслуживания - с явными потерями.

Время обслуживания одного вызова – случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением, принятым за единицу времени ,т.е.

Требуется определить вероятность возможных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов, если число занятых линий -состояния коммутационной системы .

При поступлении вызова или окончания занятия, коммутационная система скачкообразно переходит из одного состояния в другое. Допустим, что в момент времени известно i-ое состояние коммутационной системы либо распределение вероятностей состояния .Возникает задача: найти распределение .

Возьмем на оси времени временной отрезок длиной и выделим на нем бесконечно малый промежуток .

В состояние коммутационная система могла перейти из какого-то состояния за промежуток времени .

Вероятность перехода коммутационной системы из состояния в состояние за промежуток времени , оценивается с помощью переходной вероятности . Тогда уравнение для вероятностей состояния системы будет иметь вид:

Выражение (5.1) - уравнение Колмогорова-Чепмена,

где - вероятность того, что в момент времени занято линий;

- вероятность того, что за время коммутационная система перейдет из k-го состояния в –ое состояние.

Обозначим:

1) вероятность поступления в промежутке нового вызова ;

2) вероятность неизменного состояния коммутационной системы ;

3) вероятность освобождения одного выхода .

Тогда уравнение (5.1) примет вид:

(5.2)

Используем определение параметра потока (см.формулу 2.4). На основании определения параметра потока, можно найти переходные вероятности:

(5.3)

Подставим (5.3) в (5.2), тогда получим:

(5.4)

Переходя к пределу при , выражение (5.4) можно переписать в

(5.5)

Из формулы (5.5) можно определить :

(5.6)

При определении будем учитывать, что вероятности не существуют.

Выражение (5.6) является исходным уравнением для получения системы уравнений Эрланга:

- при ;

- при .

–вероятности того, что в пучке соответственно занято i и V линий.

Проведя нормирование, т.е. учитывая формулу (2.9), определим величину :

Тогда решение задачи определения сводится к решению уравнения:

Формула (5.8) носит название - первое распределение Эрланга.