Тема 4 (1). Структура механизма выбора решений коллективом экспертов

Аксиомы и теорема Эрроу. Голосование. Правила: простого большинства, Гудмана-Марковица, Кондорсе, Дельфи. Метод Саати. Обработка экспертной информации в виде нескольких ранжировок (корреляция Спирмена, Кендалла, коэффициент конкордации).

Под принятием группового решения обычно понимают выработку общего для всех участников группы соглашения по рассматриваемому процессу или объекту на основе субъективных интересов, предпочтений и целей, высказанных участниками переговоров.

В тех случаях, когда объективной информации оказывается недостаточно для определения численных значений требуемого критерия при принятии решения, должны использоваться субъективные оценки, основанные на накопленном опыте, знаниях, идеях, мнениях и догадках специалистов, привлеченных к выработке субъективной оценки. Получение объективных оценок базируется на следующих общих положениях:

1) аксиома несмещенности (единогласия), которая утверждает, что мнение большинства компетентно;

2) аксиома транзитивности, утверждающая, что субъективные оценки транзитивны;

3) аксиома полноты (совершенности) – для любых двух альтернатив группа должна указать лучшую;

4) аксиома независимости - при сравнении двух альтернатив группа забывает о других альтернативах.

Теорема Эрроу: если групповое правило ПР удовлетворяет аксиомам 1-4, то это – диктатура. Или: не существует демократической процедуры ПР, а если диктатура отвергается, то выработка группового решения не происходит автоматически ® основное условие успешности согласования групповых решений, проводимого не с позиции силы, – удовлетворение интересов договаривающихся сторон на основе компромисса, то есть достижение условий, при которых в определенном выигрыше оказывается каждая договаривающаяся сторона (рисунок - Этапы принятия решений).

Рисунок - Этапы принятия решений

Экспертиза

В процессе неформального синтеза после выдвижения множества идей необходимо окончательно принять к реализации какую-то одну из них, поскольку исследовать до конца детально все идеи довольно сложно. Чтобы отобрать лучшую (лучшие) из них, проводят их экспертизу.

Для этого коллектив экспертов анализирует идеи, и каждый эксперт выставляет каждой идее свою собственную оценку. Условиями проведения экспертизы является коллектив экспертов и перечень оцениваемых идей. Результатом первого этапа экспертизы является матрица оценок. Далее с помощью определенного выбранного метода учитывают совместно все эти оценки и выбирают лучшую идею.

К экспертизе прибегают, когда необходимо сделать выбор из множества возможных идей, решений, проектов. Экспертиза — целесообразный отбор одного решения из множества возможных, полученных на предыдущем этапе «Генерация идей» (см. Неформальный синтез).

Существует много методов проведения экспертизы: голосование, ранжирование, попарное сравнение, разбиение на классы. Рассмотрим некоторые из них.

Голосование

Голосование можно применять только в том случае, если мнений, которые предложены к рассмотрению, меньше, чем собравшихся.

Примером, иллюстрирующим этот тезис, является решение профкома о выделении квартиры. Представитель каждого отдела предприятия, участвующий в заседании профкома, если он честен, должен голосовать только за своего представителя. Таким образом, никто и никогда не наберет большинство голосов. Задача попросту не решается. Или решается нечестными способами, например, сговором двух представителей, попеременно голосующих то за отдел А, то за отдел Б, и побеждающих всегда двумя голосами против остальных.

Простейший способ голосования — выбор большинством голосов. Он имеет свои достоинства (простота) и недостатки (решение принимается неквалифицированным большинством).

Данный способ можно существенно улучшить.

1. Голосование большинством 2/3. Для принятия решения требуется набрать 2/3 голосов. Такое правило применяется в особо ответственных случаях, повышая порог принятия решения. Но при этом метод часто приводит в тупик, так как необходимого количества голосов набрать какому-то одному из проектов достаточно трудно.
2. Голосование с правом вето. В этом случае любой эксперт имеет право заблокировать общее намечающееся решение одним своим голосом, если решение ему не выгодно или опасно. Это еще более жесткая процедура голосования. Способ применяется в сверхответственных ситуациях (например, принятие решений в ООН).
3. Талонное голосование. Голосовать можно только при наличии талона. Талонов меньше, чем голосований в течение оговоренного отрезка времени. Например, на 12 совещаний в год каждому эксперту выдается 8 талонов. Таким образом, если эксперт чувствует себя не вполне компетентным по какому-то вопросу, он не вмешивается в процесс голосования, сохраняя талон для более важного для него вопроса. Метод существенно улучшает процедуру голосования, заставляя ответственно оценивать не только проекты, но и себя.
4. Туровое голосование. В первом туре голосования отбирается как результат 2-3 проекта, которые набирают большинство голосов или проходят установленный порог. Во втором туре все эксперты голосуют снова, но только уже за эти 2-3 отобранных проекта. В качестве примера можно привести выборы президента в России или во Франции. Недостатком такого голосования является то, что эксперт во втором туре вынужден голосовать не за то решение, которое ему нравится, а за одно из тех, которые прошли во второй тур. Возникает иллюзия выбора.
5. Туровое голосование можно существенно улучшить, если дать возможность экспертам знакомиться с результатами голосования после каждого тура и не убирать проекты из матрицы от тура к туру. В результате такой процедуры эксперты, видя и оценивая общий результат, могут менять собственные предпочтения, исключая случайность и приходя к равновесному мнению. Этот метод получил название «метод Дельфы».

Пример турового голосования. Пусть имеется семеро кандидатов на получение премии: Дмитриев (Д), Иванов (И), Кузнецов (К), Лукьянов (Л), Михайлов (М), Петров (П), Сидоров (С). Премию могут получить лишь трое лучших. В первом туре каждый эксперт (в примере их пятеро) оценивает каждого из кандидатов и ставит его на то или иное место (см. табл. 36.1).

Далее подсчитываются очки. Трое экспертов присвоили Иванову первое место, один эксперт дал ему второе место и еще один — третье. Зная это, подсчитываем общее число очков для Иванова: 3 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 = 8. Таким же образом подсчитываются очки для всех остальных кандидатов. Результаты сводятся в таблицу (см. табл. 36.2).

Чем меньше очков у кандидата, тем более высокое у него место. Это непосредственно следует из принципа подсчета очков. Как видим, после первого тура призовые места достаются Иванову, Лукьянову и Сидорову.

После опубликования результатов выявляется и недостаток голосования, так как часть экспертов не удовлетворена результатами. Например, кандидат Лукьянов (см. табл. 36.1), которому никто из экспертов не давал ни одного из призовых мест, ибо никто не видел Лукьянова как достойного кандидата на премию, получил второе место, а вместе с ним и премию. Второй эксперт недоволен тем, что Сидоров вошел в тройку призеров. И если бы он голосовал снова, то он бы поменял Сидорова и Петрова местами, заставив опуститься Сидорова в общем рейтинге. Так как есть эксперты, заинтересованные в изменении результатов (путем перестановки проектов), то имеет смысл провести второй тур.

Посмотрим, что будет делать первый эксперт во втором туре: скорее всего, он поменяет местами Петрова и Иванова, переставит Сидорова на второе место, так как ему «наступают на пятки» конкуренты Дмитриев и Кузнецов, а Иванова, которому ничего не угрожает, поставит на третье место.

Так же, но по-своему, поступят другие эксперты. Поэтому результаты голосования от тура к туру будут меняться.

Например, после второго тура матрица оценок может выглядеть так (см. табл. 36.3).

Кроме таблицы результатов удобно вычислять таблицу неудовлетворенности экспертов. Например, подсчитывая сумму разностей по каждому эксперту между желательным распределением проектов по местам и общим результатом тура. Если эксперт действует логично, показатель неудовлетворенности от тура к туру, в принципе, должен уменьшаться. Хотя нулевым он станет вряд ли, так как неудовлетворенность одного эксперта уменьшается за счет увеличения неудовлетворенности другого. Поэтому процедура должна прийти к равновесному состоянию за счет действия всех экспертов одновременно, понижающих собственные показатели неудовлетворенности.

Туровая процедура продолжается до тех пор, пока ни один эксперт в одиночку не в силах будет изменить получившийся порядок (результат). То есть, притом, что какие-то эксперты могут остаться неудовлетворенными, изменить результат голосования они не смогут. Технически это означает, что результат в нескольких последовательных турах перестанет меняться. Его и принимают в качестве ответа.

Рассмотрим второй класс методов экспертизы.

Ранжирование

Ранжирование есть упорядочение, разбиение множества на элементы с введением между ними некоторого порядка, в данном случае порядка «лучше-хуже».

Пусть четверо экспертов расставляют проекты A, B, C и D по рангам (местам), см. табл. 36.4.

Ранжирование>Метод «Медиана Кемени»

Вычисляются значения r_ij — расстояние между мнениями i-го и j-го экспертов. Вычислять расстояние между двумя векторами (вектор — это мнение эксперта по кортежу проектов) можно по-разному. Расстояние в математике называется нормой. Есть пифагорова норма, манхэттенская, Минковского и т. д. (подробнее см. в курсе «Искусственный интеллект» или «Высшая математика»). Например, вычислим в матрице (см. табл. 36.4) расстояние между мнениями эксперта 1 и эксперта 2 по манхэттенской норме:

r₁₂ = |1 – 1| + |2 – 3| + |3 – 2| + |4 – 4| = 0 + 1 + 1 + 0 = 2.

Итак, расстояние мнений по манхэттенской норме — это сумма разностей (по абсолютной величине) мнений двух экспертов по каждому проекту.

Эти значения заносятся в таблицу (матрицу расстояний). Затем вычисляются значения R_i — расстояние от i-го эксперта до всех остальных — как сумма расстояний между мнением этого эксперта и остальных экспертов (см. табл. 36.5).

Среди вычисленных суммарных расстояний ищется минимум из R_i. Мнение соответствующего i-го эксперта (с минимальным R) является самым средним и объявляется результатом экспертизы. Геометрическая интерпретация показывает, что мнение данного эксперта находится примерно в центре многогранника, образованного вершинами, каждая из которых представляет собой мнение отдельного эксперта, а ребра — расстояния между мнениями экспертов. Как известно, центр — место, наиболее приближенное ко всем вершинам (мнениям) фигуры одновременно.

Система координат для построения многогранника образована проектами. Таким образом, 4 проекта образуют 4-хмерное пространство. По осям координат откладывают баллы, полученные проектом у данного эксперта. Тогда мнение эксперта — точка в пространстве проектов.

На рис. 36.1 показано четырехмерное пространство, образованное проектами АВСD. Чтобы найти точку — мнение эксперта — в четырехмерном пространстве, надо отложить вдоль оси A число баллов, поставленное экспертом проекту A. Далее провести через полученную точку линию, параллельную следующей оси B и отложить на этой линии число баллов, поставленное экспертом проекту B. Через полученную точку снова провести линию, параллельную оси C, отложив на ней число баллов, поставленное экспертом проекту C. И, наконец, через полученную точку провести линию, параллельную D, отложив на ней число баллов, поставленное экспертом проекту D. Точка, соответствующая мнению эксперта в четырехмерном пространстве, найдена. Так же следует найти точки — мнения экспертов 2, 3, 4. Соединив точки линиями, получим многогранник мнений экспертов.

Рис. 36.1. Многогранник мнений экспертов 1, 2, 3, 4 в четырехмерном пространстве проектов АВСD

Очевидно, что вы можете построить любое количество осей и отразить на плоскости пространство любой размерности (см. лекцию 16. Понятие размерности пространства в дисциплине «Компьютерная графика»). То, что вы видите на рис. 36.1, есть проекция фигуры из четырехмерного пространства на двухмерной плоскости экрана. В зависимости от того, насколько удачно вы расположите оси (точнее сказать, проекции осей) на плоскости, рисунок будет более или менее наглядным. Поворачивая оси, можно добиться наглядного изображения. Это называется найти удачный ракурс рассмотрения многомерной фигуры. Рассматривая рис. 36.1, обратите внимание на то, что точка 1 (символизирует мнение эксперта 1 по поводу проектов A, B, C, D) находится ближе всех к мнениям остальных экспертов, в отличие от точек 2, 3, 4. Рассматривая многогранник с разных сторон (поворачивая оси) можно убедиться, что так точка выглядит с любого ракурса. Значит, мнение эксперта 1 — среднее и является решением.

Можно, разумеется, изображать эту фигуру и в трехмерном пространстве, и двухмерном, и даже одномерном или нульмерном (см. рис. 36.2), что является для вас более привычным. Такие рисунки являются сечениями четырехмерного пространства по одной или двум осям. Это вопрос удобства мышления. Обычно рисуют сразу несколько сечений, желательно во взаимоперпендикулярных плоскостях, чтобы попытаться восстановить общий вид фигуры по нескольким частным видам В УМЕ, разглядывая их ОДНОВРЕМЕННО. Так поступают, например, при работе с чертежами.

На рис. 36.2 показано сечение четырехмерного пространства для трех осей (A, B, C) и различных пар двух осей. (Проекции на одномерные оси и на нульмерную ось постройте сами). Но и из этих рисунков видно, что мнение эксперта 1 является средним, так как всегда лежит внутри многогранника (1-2-3-4).

Рис. 36.2. Проекции многогранника мнений экспертов на оси проектов АВСD

Отметим, что самая удаленная от центра вершина характеризует самое ненадежное мнение и может этим характеризовать самого эксперта.

В нашем примере матрица расстояний будет выглядеть так (см. табл. 36.6).

Очевидно, что наименьшее расстояние от остальных мнений — у эксперта 1, поэтому его мнение объявляется результатом.

Ответ: проект A — 1 место, проект B — 2, проект C — 3, проект D — 4. Наилучшим проектом является проект A.