Ранжирование>Принцип Борда

За первое место каждому проекту дадим 1 балл, за второе место — 2 балла, за третье — 3 балла и так далее. Далее подсчитаем количество баллов, которое получит каждый проект в сумме. Первое место в итоге получит проект, который наберет наименьшее число баллов, остальные места определятся сортировкой набранных баллов.

Итак, для нашего примера из табл. 34.4 получим следующее (см. табл. 36.9).

Ответ: проект A — 1 место (5 баллов), проект B — 2 место (9 баллов), проект C — 3 место (12 баллов), проект D — 4 место (14 баллов). Наилучшим проектом является проект A.

Ранжирование>Метод «Электра»

Рассмотрим данный метод на примере решения о покупке автомобиля.

Сначала составляют таблицу критериев, по которым будут оценивать проекты (см. табл. 36.10).

Далее эксперт составляет таблицу оценок проектов (автомобилей). Например, для 7-ми автомобилей эксперт заполняет таблицу так, как показано в табл. 36.11.

Рассматриваем все пары проектов i и j. Если по какому-либо критерию i-ый проект лучше, чем j-ый, то соответствующий критерию вес прибавляется к P_ij (эти баллы символизируют выбор «За»), в противном случае — к N_ij (эти баллы символизируют выбор «Против»). То же самое справедливо для j-го проекта: если j-ый проект оказывается лучше, чем i-ый, то соответствующий критерию вес прибавляется к P_ji, в противном случае — к N_ji (обратите внимание на порядок следования индексов j и i у P и N). Если повстречалось одинаковое для i-го и для j-го проектов значение критерия, то оно пропускается. Затем, когда по паре i и j рассмотрены все критерии, находятся отношения D_ij = P_ij/N_ij и D_ji = P_ji/N_ji. Значения D ≤ 1 отбрасываются. Заметим, что D_ji = 1/D_ij (и наоборот), таким образом, вычисления можно несколько упростить.

Рассмотрим, для примера, проекты 2 и 4 (i = 2, j = 4). По критерию «Цена» (вес критерия — 5 баллов) проект 2 хуже проекта 4; по критерию «Комфортность» (вес — 4 балла) проект 2 лучше проекта 4; по критерию «Скорость» (вес — 3 балла) проект 2 хуже проекта 4; по критерию «Дизайн» (вес — 3 балла) проект 2 лучше проекта 4. Таким образом, имеем:
P₂₄ = 0 + 4 + 0 + 3 = 7;
N₂₄ = 5 + 0 + 3 + 0 = 8;
D₂₄ =P₂₄/N₂₄ =7/8 = 0.875 < 1 — отбрасываем;

P₄₂ = 5 + 0 + 3 + 0 = 8;
N₄₂ = 0 + 4 + 0 + 3 = 7;
D₄₂ =P₄₂/N₄₂ =8/7 = 1/0.875 = 1.14 > 1 — принимаем.

Рассмотрим, для примера, проекты 1 и 2 (i = 1, j = 2). По критерию «Цена» проект 1 хуже проекта 2; по критерию «Комфортность» проекты 1 и 2 одинаковы, поэтому ничего не делаем; по критерию «Скорость» проект 1 лучше проекта 2; по критерию «Дизайн» проекты 1 и 2 одинаковы, поэтому ничего не делаем. Таким образом, имеем:
P₁₂ = 0 + 0 + 3 + 0 = 3;
N₁₂ = 5 + 0 + 0 + 0 = 5;
D₁₂ =P₁₂/N₁₂ =3/5 = 0.6 < 1 — отбрасываем;

P₂₁ = 5 + 0 + 0 + 0 = 5;
N₂₁ = 0 + 0 + 3 + 0 = 3;
D₂₁ =P₂₁/N₂₁ =5/3 = 1/0.6 = 1.67 > 1 — принимаем.

Все остальные пары рассчитываются аналогично.

Составляем матрицу, внося вычисленные (и принятые) значения D. Матрица имеет смысл предпочтений проектов между собой. Для нашего примера матрица выглядит следующим образом (см. табл. 36.12).

Задаемся порогом принятия решения, например C = 1.33, и оставляем в матрице те числа, которые больше или равны значению порога C. Таким образом, матрица разрежается (см. табл. 36.13).

По матрице строится граф предпочтений (см. рис. 36.5). Из графа, построенного по табл. 36.13, видно, что проект 1 лучше проектов 4, 5, 7; проект 2 лучше проектов 1, 3, 7; проект 3 лучше проекта 7; проект 4 лучше проектов 3, 6, 7; проект 5 лучше проектов 3, 6, 7; проект 6 лучше проекта 2.

Рис. 36.5. Вид графа предпочтений для случая порога принятия решений C = 1.33

Очевидно, что решение не получено, так как в графе присутствуют петли. Например, 2 лучше 1, 1 лучше 5, 5 лучше 6, 6 лучше 2. Назначим порог отбора предпочтений C = 1.4 (это соответствует тому, что мы попробуем учесть только более сильные связи в графе, не отвлекаясь на малозначимые расхождения в проектах). Таким образом, матрица еще разрежается. В ней остаются только самые сильные связи (см. табл. 36.14).

По матрице строится граф предпочтений (см. рис. 36.6). По графу и табл. 36.14 видно, что проект 1 лучше проектов 4, 5, 7; проект 2 лучше проектов 1, 7; проект 3 лучше проекта 7; проект 4 лучше проектов 3, 7; проект 5 лучше проектов 3, 7; проект 6 лучше проекта 2. Как видим из рис. 36.6, при C = 1.4 граф получился в таком виде, в котором он легко приводится к ЯПФ, следовательно, решение получено.

Рис. 36.6. Вид графа предпочтений для случая порога принятия решений C = 1.4

Петель в графе нет, при этом граф остался целостным. Решение говорит нам о том, что лучший проект — 6. На втором месте — проект 2, на третьем месте — проект 1, четвертое и пятое место делят проекты 4 и 5, на шестом месте — проект 3, на седьмом месте — проект 7.

Примечания

1. Как можно видеть, порог C подбирается эмпирически. При малом пороге C (в матрице много компонент), в графе содержится много петель. Увеличивая порог C, можно добиться уменьшения количества связей и устранения малозначащих связей и петель. Однако нужно иметь в виду, что при очень высоком значении порога C граф распадется на несколько отдельных графов из-за отсутствия необходимых связей; в качестве иллюстрации см. рис. 36.7: при пороге C = 1.67 проекты 4 и 5 остаются без входящих стрелок, и поэтому становится неясно, какой же проект — 6-ой, 4-ый или 5-ый — является наилучшим. А при пороге C = 2 граф распадается на четыре не связанных подграфа.
2. Если граф не будет найден ни при каких значениях порога C, то следует изменить веса критериев и всю процедуру провести снова.
3. Если разумное изменение весов не помогает, и проекты все еще путаются (петли в графе), то надо детализировать проблему, добавив критерии.

Рис. 36.7. Вид графа предпочтений для случая порога принятия решений C = 1.67 (слева) и C = 2 (справа)