В математической статистике для проверки гипотез пользуются критериями согласия.

Для того, чтобы принять или забраковать гипотезу при помощи этих критериев, устанавливают уровни их значимости.

Уровень значимости представляет собой достаточно малое значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данной обстановке исследования можно считать практически невозможными. Обычно принимают 5%-, 2%- или 1%-ный уровень значимости, в технике чаще всего принимают 5%-ный уровень.

Уровень значимости называют также уровнем риска, который соответственно может быть принят равным 0,05, 0,02 или 0,01.

Так, например, при уровне значимости = 0,05 вероятность при проверке нашей гипотезы Р = 1 – =1– 0,05 = 0,95 или 95%. Это значит, что в среднем только в 5% случаев возможна ошибка при проверке гипотезы.

После вычисления по формуле (2.12) дисперсий опытов проверяют гипотезу однородности. Проверка однородности двух дисперсий производится с помощью F – критерия, который называется критерием Фишера и представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей:

,

где .

Если расчетное значение F_p-критерия меньше табличного F_t (табл. 2.6) для соответствующих чисел степеней свободы и принятого уровня значимости , то дисперсии однородны.

Однородность ряда дисперсий проверяют по критерию Кохрена или критерию Бартлета.

При равномерном дублировании опытов однородность ряда дисперсий проверяют с помощью G-критерия Кохрена, представляющего собой отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

.

Дисперсии однородны, если расчетное значение G_p - критерия не превышает табличного значения G_T-критерия.

Индекс N показывает число сравниваемых дисперсий, а п - число параллельных опытов.

Если G_p>G_T, то дисперсии неоднородны, а это указывает на то, что исследуемая величина у не подчиняется нормальному закону.

В этом случае нужно попытаться заменить y случайной величиной q=f(y), достаточно близкой к нормальному закону.

Если дисперсии опытов однородны, то дисперсию воспроизводимости эксперимента вычисляют по выражению:

, (2.14)

где N – число опытов или число строк матрицы планирования.

По результатам эксперимента вычисляют коэффициенты регрессии. Свободный член b₀ определяют по формуле:

. (2.15)

Таблица 2.6

Значения F-критерия (Фишера) при 5% - уровне значимости

Число степеней свободы для меньшей дисперсии	Значения критерия при числе степеней свободы для большей дисперсии
	164,4	199,5	215,7	224,6	230,2	234,0	244,9	249,0	254,3
	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,4	19,5
	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	8,5
	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
	5,5	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	3,6	3,4	3,2
	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	3,1	2,9	2,7
	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5
	4,8	4,0	3,6	3,4	3,2	3,1	2,8	2,6	2,4
	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
	4,7	3,8	3,4	3,2	3,0	2,9	2,6	2,4	2,2
	4,6	3,7	3,3	3,1	3,0	2,9	2,5	2,3	2,1
	4,5	3,7	3,3	3,1	2,9	2,8	2,5	2,3	2,1
	4,5	3,6	3,2	3,0	2,9	2,7	2,4	2,2	2,0
	4,5	3,6	3,2	3,0	2,8	2,7	2,4	2,2	2,0
	4,4	3,6	3,2	2,9	2,8	2,7	2,3	2,1	1,9
	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,9
	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	4,2	3,3	3,0	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

Таблица 2.7

Значения G - критерия (Кохрена) при 5% – уровне значимости

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, определяют по выражению

. (2.16)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

, (2.17)

где i, l – номера факторов; X_ij, X_lj –кодированные значения факторов i и l в j-м опыте.

Вычислив коэффициенты регрессии, проверяют их значимость.

Проверку значимости коэффициентовможно проводить двумя способами: 1) сравнением абсолютной величины коэффициентов с доверительным интервалом; 2) с помощью t-критерия, который называется критерием Стьюдента.

При проверке значимости коэффициентов первым способом для определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии. Доверительный интервал находится по формуле. Дисперсию i-гo коэффициента определяют по выражению

. (2.18)

Доверительный интервал находится по формуле

, (2.19)

где t_Т табличное значение критерия Стьюдента при принятом уровне значимости и числе степеней свободы f, с которым определялась дисперсия воспроизводимости . При равномерном дублировании опытов число степеней свободы находится по выражению f= (n – 1 )N, где N – число опытов в матрице планирования, a n – число параллельных опытов; – ошибка в определении i-го коэффициента регрессии вычисляемая по формуле . Значения t-критерия приведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8.

Значения t-критерия при 5%-ном уровне значимости

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

При проверке значимости коэффициентов регрессии вторым способом вычисляют t_p - критерий по выражению

(2.20)

и сравнивают его с табличным t_T.

Коэффициент значим, если t_p>t_T для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, с которым определялась дисперсия . Критерий Стьюдента вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения.

После расчета коэффициентов регрессии и проверки их значимости определяют дисперсию адекватности .

Остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности, характеризует рассеяние эмпирических значений параметра оптимизации относительно расчетных его значений, определенных по найденному уравнению регрессии. Дисперсию адекватности определяют по формуле

(2.21)

– среднее арифметическое значение параметра оптимизации в j-м

опыте; – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-гo опыта; – число степеней свободы, равное ; k – число факторов.

Последним этапом обработки результатов эксперимента является проверка гипотезы адекватности найденной модели.Проверку этой гипотезы производят по F-критерию (Фишера):

. (2.22)

Если значение F_P<F_T для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При F_P>F_T гипотеза адекватности отвергается.

Таким образом, обработка результатов эксперимента при равномерном дублировании опытов следующая:

- для каждой строки матрицы планирования по формуле (2.11) вычисляют среднее арифметическое значение параметра оптимизации;

- по формуле (2.12) определяют дисперсию каждого опыта матрицы планирования;

- используя критерий Кохрена, проверяют гипотезу однородности дисперсий опытов;

- если дисперсии опытов однородны, то по формуле (2.14) вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента;

- по формулам (2.15), (2.16), (2.17) определяют коэффициенты уравнения регрессии;

- по выражению (2.18) находят дисперсии коэффициентов регрессии;

- по формуле (2.19) устанавливают величину доверительного интервала ;

- проверяют статистическую значимость коэффициентов регрессии;

- по выражению (2.21) определяют дисперсию адекватности ;

- с помощью F-критерия проверяют гипотезу адекватности модели.

В заключение необходимо отметить, что использование критерия Кохрена, Стьюдента и Фишера предполагает нормальное распределение результатов эксперимента.

Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании опытов, вследствие ошибок и необходимости их исключения отличается от рассмотренной обработки результатов. Количество параллельных опытов в каждой строке матрицы оказывается не одинаковым.

Бывают и другие случаи, когда по тем или иным причинам не удается провести одинаковое число параллельных опытов в каждом опыте. При неодинаковых числах параллельных опытов нарушается ортогональность

матрицы планирования и, как следствие, изменяются формулы для определения коэффициентов регрессии и их ошибок. Расчет коэффициентов регрессии и их ошибок при неодинаковых числах параллельных опытов усложняется.

Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании опытов производится по следующей схеме [3]:

1. Для каждой строки матрицы планирования находят – среднее арифметическое значение параметра оптимизации

,

где –. число параллельных опытов в j-ой строке матрицы.

2. Для каждой строки матрицы вычисляют дисперсию опыта:

.

3. Проверяют с помощью критерия Бартлета гипотезу однородности дисперсий опытов. Для этого подсчитывают дисперсию воспроизводимости эксперимента по формуле

, (2.23)

где – число степеней свободы, с которым определялась дисперсия j-го опыта.

После этого определяют величину

,

где

; .

Бартлет показал, что величина Q приближенно подчиняется распределению с (N–1) степенями свободы, где N – число сравниваемых дисперсий.

Если Q меньше (табл. 2.9) для данного числа (N–1) степеней свободы и принятого уровня значимости, то дисперсии однородны, и наоборот. Критерий Бартлета основан на нормальном распределении. Если распределение случайной величины не подчиняется нормальному закону, то проверка однородности дисперсий может привести к ошибочным результатам.

Рассмотрим применение критерия. Бартлета для проверки однородности дисперсий. Матрица планирования предусматривала выполнение четырех опытов. Первый опыт был повторен пять раз, второй – шесть, третий и четвертый – по четыре раза. При этом дисперсия первого опыта равна 3,5; второго – 4,22; третьего – 5,88; четвертого – 11,36. Необходимо проверить, верна ли гипотеза об однородности дисперсий.

Таблица 2.9

Значения при 5%- ном уровне значимости

Число степеней свободы	Значения	Число степеней свободы	Значения
	3,84		26,3
	5,99		27,6
	7,82		28,9
	9,49		30,1
	11,07		31,4
	12,59		32,7
	14,07		33,9
	15,51		35,2
	16,92		36,4
	18,31		37,7
	19,68		38,9
	21,0		40,1
	22,4		41,3
	23,7		42,6
	25,0		43,8

Дисперсия параметра оптимизации

.

Вычисляем величину с:

.

Определяем Q:

.

Табличное значение для трех степеней свободы (N–1=3) и 5%-го уровня значимости равно 7,82.

Так как Q< , то гипотеза однородности дисперсий принимается.

4. Вычисляют коэффициенты уравнения регрессии, дисперсии коэффициентов регрессии и ошибки в определении коэффициентов.

5. Для каждого коэффициента регрессии находят расчетное значение t-критерия

.

Сравнивают расчетное значение t_p с табличным значением t_T-критерия. Табличное значение критерия находят для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, которое в рассматриваемом случае определяют по выражению

.

Коэффициент значим при t_p>t_T и незначим при t_p<t_T. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения регрессии.

При исключении статистически незначимых коэффициентов из уравнения оставшиеся коэффициенты пересчитывают с использованием метода наименьших квадратов.

6. Определяют дисперсию адекватности

, (2.24)

где – число параллельных опытов в j-й строке матрицы.

7. Проверяют гипотезу адекватности получений модели с помощью F-критерия. Если F_P<F_T для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При F_P>F_T гипотеза адекватности отвергается.

При отсутствии дублирования опытов обработку результатов эксперимента производят по следующей схеме:

1. Для вычисления дисперсии воспроизводимости эксперимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана).

При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента

, (2.25)

где – число параллельных опытов в нулевой точке; – значение параметра оптимизации в u-м опыте; – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в параллельных опытах.

2. Закончив эксперимент, вычисляют коэффициенты регрессии. Свободный член определяют по формуле

. (2.26)

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, вычисляют по выражению

. (2.27)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодей­ствия, определяют по формуле

, (2.28)

где i, l – номера факторов; j – номер строки или опыта в матрице планирования; – значение параметра оптимизации в j-м опыте; – кодированные значения (±1) факторов i и l в j-м опыте.

3. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами:

1) сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом;

2) с помощью t-критерия.

При проверке значимости коэффициентов первым способом для определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии по выражению

, (2.29)

где – дисперсия i-го коэффициента регрессии; N – число строк или опытов в матрице планирования.

Из формулы (2.29) следует, что дисперсии всех коэффициентов равны. Доверительный интервал определяют по формуле (2.19). Значение t-критерия, входящего в эту формулу, находят по таблице для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, которое определяют по выражению

f=n₀–1.

Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют критерий t_p

и сравнивают его с табличным t_T. Коэффициент значим, если t_p>t_T для принятого уровня значимости и числа степеней свободы, определенного по формуле

f=n₀–1.

Критерий Стьюдента t вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты регрессии могут быть исключены из уравнения.

4. Определяют дисперсию адекватности по формуле

, (2.30)

где – наблюденное значение параметра оптимизации в j-м опыте;

– значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-гo опыта;

– число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению ,

где k – число факторов.

5. Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию, используя для определения F_p-критерия формулу (2.22).

Если F_P<F_T для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При F_P>F_T гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений:

1) переходят к планированию второго или более высокого порядка;

2) уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения.

Необходимо заметить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы.

Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования; включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации; большой ошибки опыта.

Принятие решения в данной ситуации зависит от того, какая из трех гипотез выбрана. Если принята первая гипотеза, то изменяют интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию опытов.

Если принята вторая, то не влияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов.

Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных опытов. Увеличение числа – этих опытов приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми.

Возможен случай, когда все коэффициенты, кроме , незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаще всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки опыта. В этой ситуации возможны два решения:

1) расширение интервалов варьирования или

2) повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения опытов и увеличения числа параллельных опытов.