Выборочные оценки и доверительные интервалы

В многомерном регрессионном анализе матричным аналогом дисперсии одной переменной является ковариационная матрица å_b вектора оценок параметров b:

,

где s_ij = M[(b_i-M(b_i))×(b_j-M(b_j))] - ковариации (корреляционные моменты) оценок параметров b_i и b_j . На главной диагонали этой матрицы находятся дисперсии оценок параметров регрессии:

s_ii = M[(b_i-M(b_i))×(b_i-M(b_i))] = s_bi².

Путем преобразований (см. [5, с. 92]) получаем ковариационную матрицу:

Таким образом, с помощью обратной матрицы (Х’X)^-1 определяется как сам вектор оценок b, так и дисперсии-ковариации его компонент.

Выше мы показали, что оценка b вектора b по МНК является несмещенной и обладает наименьшей дисперсией, т.е. является эффективной (“наилучшей”).

Рассмотрим оценку дисперсии s² возмущений e=Y – Xb (подробный вывод см. [5, с. 95]). Соответствующее выражение для несмещенной выборочной оценки s² параметра s² возмущений e:

.

(3.11)

Оценим значимость коэффициентов b_j множественной регрессии, а затем и доверительного интервала для них.

Нулевая гипотеза Но: b= 0 отвергается с уровнем значимости a, если:

Поэтому доверительный интервал для параметра b_j:

Аналогично доверительному интервалу (2.26) для М_х(Y) парной регрессии построим доверительный интервал для условного МО М_х(Y) множественной регрессии:

- t1-a, k £ Mx(Y) £ + t1-a, k ,

(3.14)

где - групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии;

= - стандартная ошибка групповой средней ;	(3.15)
Хо' = (1 x10 x20 ... xp0) - вектор значений объясняющих переменных.

На основе выражения (3.14) можно оценивать ошибку (конус) прогноза в среднем.

Однако индивидуальное значение прогноза имеет больший доверительный интервал. Ранее мы рассмотрели его для парной регрессии (см. формулу (2.28)). Аналогичный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной множественной регрессии:

- t1-a, n-p-1 £ £ + t1-a, n-p-1k ,	(3.16)
где .	(3.17)

Аналогично доверительному интервалу для s² парной регрессии (2.31) строится доверительный интервал и для множественной регрессии с соответствующим изменением числа степеней свободы для c²:

.

(3.18)