Теорема. Если из трех рядов

, ,

то сходятся и два остальные и верно равенство

= = .

Доказательство.

1. Пусть . Тогда очевидно, что . Но монотонно возрастает с ростом п, и, в силу ограниченности сверху, существует конечный предел .

Но также монотонно возрастает с ростом т, и также ограничена сверху. Поэтому существует и повторный предел

и ряд сходится. Совершенно аналогично показывается сходимость ряда .

2. Пусть теперь . Тогда . Но монотонно возрастают с ростом п и т, и, в силу ограниченности сверху, существует двойной предел .

3. Сравнивая полученные неравенства легко получить, что суммы всех этих трех рядов равны между собой

= = .

Но тогда ряды

, , .

Сходятся абсолютно, и, в силу этого, в них можно произвольно переставлять слагаемые, их суммы от этого не изменятся. Поэтому

= = . <

Бесконечные произведения

В заключение этой главы рассмотрим коротко достаточно экзотический раздел математического анализа - так называемые бесконечные произведения.

Определения.

Пусть имеем последовательность вещественных чисел , которые все отличны от нуля.Рассмотрим так называемые частные произведения

; ; ; … .

Предел называется бесконечным произведением. Если этот предел существует, конечен и отличен от нуля, то говорят, что бесконечное произведение сходится, в противном случае - расходится.

Величина называется остаточным произведением после п-го сомножителя.

Свойства

1. Если бесконечное произведение сходится, то " п сходится и остаточное произведение. Наоборот, если какое-то остаточное произведение сходится, то сходится и само бесконечное произведение и верна формула