Признаки сходимости

Теорема 1. для того, чтобы бесконечное произведение сходилось необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .

Доказательство.

Имеем

; ; .

Используя непрерывность логарифмической и показательной функций, получаем:

А) Þ .

Б) Þ . <

Так как , то представим в виде . Тогда .

Теорема 2. Пусть, начиная с некоторого N, все . Тогда, для сходимости бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .

Доказательство.

Так как ,то . Далее, так как , то ряды и сходятся или расходятся одновременно. <

Теорема 3. Из сходимости рядов и следует сходимость бесконечного произведения.

Доказательство.

Примем без доказательства неравенство . Можете попытаться доказать его сами.

Далее, применяя правило Лопиталя, легко получить, что

.

Далее идет следующая цепочка следований:

Ряд сходится Þ ряд также сходится. Но так как сходится ряд , то сходится и ряд Þ бесконечное произведение сходится. <

Еще кое-что

Бесконечное произведение называется абсолютно сходящимся, если . Если ряд сходится, но , то бесконечное произведение называется неабсолютно сходящимся

В абсолютно сходящемся произведении можно как угодно переставлять сомножители - от этого оно не изменится. В неабсолютно сходящемся произведении перестановка сомножителей может изменить значение бесконечного произведения.