Преобразование Абеля

Пусть есть некоторые вещественные числа и . Тогда верна формула

.

Эта формула и называется преобразованием Абеля. Она является дискретным вариантом формулы интегрирования определенных интегралов по частям.

Доказательство.

Имеем

; ; ; … ;

Отсюда

; ; ; ; …; .

Теперь имеем следующую цепочку преобразований:

. <

Признак Дирихле

Пусть

1. Все частные суммы ряда ограничены, то есть ;

2. .

Тогда ряд сходится.

Доказательство.

1. Согласно первому ограничению мы имеем

Пусть

.

Тогда .

2. Þ .

3. Считая, что , , а также, что и используем преобразование Абеля. Получаем (вначале особых пояснений не требуется):

(делаем преобразование Абеля)

И тут наступает самый тонкий момент вывода. Вспомним, что, согласно ограничению 2, монотонно убывают. Поэтому все разности вида отрицательны,то есть . В силу этого

,

и, продолжая прерванный вывод, получим:

.

Но e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <

Следствие. Если ,то сходятся ряды (при ) и (при любых х).

Доказательство.

Пусть . Начнем с известной со школы формулы

.

Имеем

k = 1: ;

k = 2: ;

k = 3: ;

……………..

k = n: .

Складывая все эти равенства, получим:

.

Теперь мы имеем очень интересную формулу

.

Но тогда

,

если , то есть, если . По признаку Дирихле, при ряд сходится.

Для ряда все выкладки совершенно аналогичны, надо только начинать с формулы

.

Условие можно убрать, так как при и сумма ряда просто равна нулю.

Признак Абеля. Если ряд сходится (не обязательно абсолютно!), а последовательность чисел монотонна и ограничена, то ряд сходится.

Доказательство.

1. Ряд сходится Þ по признаку Больцано-Коши

.

2. Последовательность чисел ограничена Þ .

3. Дальнейшие выкладки сначала полностью повторяют признак Больцано-Коши

(делаем преобразование Абеля)

С этого момента начинаются отличия. Если раньше действовала оценка , то теперь будет оценка :

В этом месте - самый тонкий момент. Согласно ограничению, последовательность чисел монотонна Þ все разности одного знака, или все положительные, или все отрицательные. Поэтому можно записать

.

Поэтому, продолжая доказательство, можно записать:

.

Заключительная фраза та же самая: e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <