Сочетательное свойство сходящихся рядов
Рассмотрим два ряда
который будем называть рядом (А), и ряд
,
который будем называть рядом ( ).
Теорема. Если ряд (А) сходится, то ряд ( ) тоже сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство.
Пусть есть частная сумма ряда (А), то есть . Рассмотрим теперь частные суммы ряда ( ). Имеем
; ; ; … .
Но тогда, если , то и , потому, что последовательность есть подпоследовательность последовательности . <
Замечания.
1. Это свойство нельзя применять наоборот, то есть из сходимости ряда ( ) не следует сходимость ряда (А). Другими словами, в сходящемся ряду собирать слагаемые в группы и заключать эти группы в скобки можно,а вот раскрывать скобки, вообще говоря, нельзя, точнее, надо делать это очень осторожно. Это можно делать лишь тогда, когда ряд, получающийся после раскрытия скобок, является сходящимся рядом, а это надо доказывать.
Пример. Ряд
сходится и сумма его равна нулю, а вот ряд, полученный после раскрытия скобок,
расходится, так как его общий член не стремится к нулю.
2. Это свойство невернодля расходящихся рядов, то есть в расходящемся ряду собирать слагаемые в группы и заключать эти группы в скобки нельзя.
Пример. Ряд
расходится, но ряды
,
сходятся, и имеют разные суммы.
Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 574;