Выравнивание статистических рядов

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено. Только при очень большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и случайное явление обнаруживает присущую ему закономерность. На практике при обработке статистических данных часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для полученного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую существенные черты статистического материала. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов. Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую кривую, наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение.

Как правило, принципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее из соображений, связанных с существом задачи, а в некоторых случаях просто с внешним видом статистического распределения.

Следует иметь в виду, что любая аналитическая функция f(t), с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должна обладать основными свойствами плотности распределения:

Предположим, что выбрана функция f(t), удовлетворяющая необходимым условиям, с помощью которой мы хотим выровнять данное статистическое распределение. В выражение этой функции входит несколько параметров а,в,с,... . Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f(t) наилучшим образом описывала данный статистический материал. Один из методов, применяемых для решения этой задачи - это метод моментов.

Согласно методу моментов, параметры а,в,с... выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая f(t) зависит только от двух параметров а и в, эти параметры выбираются так, чтобы математическое ожидание (m_t) и дисперсия (D_t) теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками.

Допустим, требуется выровнять статистическое распределение с помощью нормального закона:

(3)

Для этого вычислим статистическое среднее:

m =t P +t P +…+t P = ,

где t - середина интервала t.

Статистическая дисперсия находится из выражения

,

где - второй начальный момент.

Напишем выражение для нормального закона:

.

Вычисляем значение f*(t) на середине интервалов t . На основе полученных значений построим на одном графике гистограмму и выравнивающую ее кривую.

Рисунок 3.5.

На рисунке 3.5 показан пример сглаживающей кривой для распределения случайной величины по нормальному закону.