Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов в основной системе метода перемещений.

Для построения единичных эпюр изгибающих моментов в основной системе метода перемещений используют эпюры, построенные для отдельных стержней с двумя защемленными опорами, либо одной защемленной, а другой шарнирной опорами, загруженных единичными поворотами одной защемленной опоры, либо единичным линейным перемещением одной из опор, направленным перпендикулярно оси стержня. Опорные моменты и реакции опор указанных стержней легко определяются по методу сил. При этом опорные моменты и реакции опор удобно выражать через погонные жесткости стержней, равные отношению абсолютной изгибной жесткости стержня к его длине, т.е.:

(8.7)

Для построения грузовой эпюры изгибающих моментов в основной системе необходимо знать длины стержней, виды их опор и характер внешних нагрузок, действующих на каждый стержень.

Опуская выводы, приводим основные эпюры изгибающих моментов для указанных выше двух типов стержней, которые используются при построении единичных и грузовых эпюр в основной системе метода перемещений:

1. Стержень с двумя защемленными опорами, имеющий длину и погонную жесткость загружен единичным поворотом одной из опор.

На рис.8.12 приведена эпюра изгибающих моментов от поворота опоры (А) по часовой стрелке на единичный угол, а также показаны направления и величины опорных реакций стержня.

Анализируя эту эпюру, можно сформулировать следующие её свойства:

а) изгибающий момент в опорном сечении А стержня равен учетверенной погонной жесткости этого стержня и растягивает нижние волокна стержня;

Рис.8.12

б) изгибающий момент в опорном сечении (В) стержня равен удвоенной погонной жесткости стержня и растягивает верхние волокна стержня;

в) опорные реакции стержня равны отношению ушестеренной погонной жесткости к длине стержня и вращают стержень против заданного единичного поворота опоры.

Рис.8.13

2. Стержень с двумя защемленными опорами, имеющий длину и погонную жесткость загружен единичным линейным смещением одной из опор, направленным перпендикулярно оси стержня (рис.8.13).

Из анализа эпюры изгибающих моментов следует, что изгибающие моменты в опорных сечениях стержня имеют одинаковые модули, но противоположны по знаку. При этом ордината эпюры изгибающих моментов у опоры, которая получает линейное смещение, всегда откладывается от нулевой прямой в сторону заданного смещения, а ордината эпюры под другой опорой откладывается в противоположную сторону. Величины реакций опор определяются отношением суммы опорных моментов к длине пролета стержня и направляются так, чтобы они вращали стержень в том же направлении, в котором стремится его повернуть единичное смещение.

3. Стержень с одной защемленной, а другой шарнирной опорами, имеющий длину и погонную жесткость загружен единичным поворотом защемленной опоры (рис.8.14)

Рис.8.14

Свойства построенной эпюры изгибающих моментов легко устанавливаются по аналогии с предыдущими эпюрами.

4.Стержень с одной защемленной, а другой шарнирной опорами, имеющий длину и погонную жесткость загружен единичным линейным смещением одной из опор в направлении, перпендикулярном оси стержня (рис.8.15).

Рис.8.15

Свойства построенной эпюры изгибающих моментов устанавливаются по аналогии с предыдущими эпюрами.

Рис.18.16

5. Стержень с двумя защемленными опорами, имеющий длину загружен равномерно распределенной нагрузкой

Эпюра изгибающих моментов в рассматриваемом случае очерчена по квадратичной параболе, имеющей вершину посередине пролета стержня. Опорные и максимальный пролетный изгибающие моменты определяются по формулам, приведенным на эпюре изгибающих моментов. Реакции опор стержня имеют величины, равные половине всей нагрузки и направлены вверх.

6. Стержень с двумя защемленными опорами длиною пролета загружен сосредоточенной силой в любом месте пролета (рис.8.17).

При таком загружении стержня эпюра изгибающих моментов ограничена на каждом участке прямыми линиями, наклонными к оси стержня. Опорные моменты и пролетный момент под силой определяются по формулам, приведенным на эпюре изгибающих моментов. Реакции опор стержня направлены вверх (противоположно направлению внешней нагрузки) и определяются по формуле Журавского.

Рис.8.17

В частном случае, когда сила приложена посередине пролета стержня ( ) опорные изгибающие моменты, а также изгибающий момент под точкой приложения силы, численно равны и определяются по формуле: .

Реакции опор направлены вверх и равны половине заданной силы:

7. Стержень с одной защемленной, а другой шарнирной опорами, длина пролета, которого равна , загружен равномерно распределенной нагрузкой (рис.8.18).

Рис.8.18

На рис.8.18 приведена эпюра изгибающих моментов, построенная на растянутых волокнах стержня, реакции опор стержня (их истинные направления и величины), а также значения опорного, пролетного и максимального изгибающих моментов.

Следует иметь в виду, что сечение стержня, в котором возникает максимальный изгибающий момент, находится на расстоянии от защемленной опоры, или на расстоянии от шарнирной опоры.

8. Стержень длиною с одной защемленной, а другой шарнирной опорами, загружен сосредоточенной силой в произвольной точке пролета (рис.8.19).

Эпюра изгибающих моментов и величины ординат показаны на рис.8.19.

В частном случае, когда сила приложена посередине пролета стержня (в этом случае ) опорный изгибающий момент и пролетный изгибающий момент будут соответственно равны:

, .

Реакции опор легко вычисляются по формуле Журавского и соответственно равны:

, .

Рис.8.19

9. Стержень длиною с двумя защемленными опорами загружен в произвольном месте сосредоточенным моментом (рис.8.20).

На рис.8.20 приведена эпюра изгибающих моментов, величины изгибающих моментов на концах участков и величины реакции опор, возникающие от сосредоточенного момента, направленного по ходу часовой стрелки, т.е. имеющего знак плюс.

Если внешний сосредоточенный момент действует против часовой стрелки, то его следует подставить в приведенные формулы со знаком минус.

В частном случае, когда внешний момент приложен посередине пролета стержня (в этом случае ) опорные изгибающие моменты, изгибающие моменты в сечении, где приложен внешний момент, а также величины реакций опор, будут соответственно равны: , ,

, , .

Рис.8.20

10. Стержень длиною с одной защемленной, а другой шарнирной опорами, загружен сосредоточенным моментом в произвольной точке (С) пролета (рис.8.21).

Рис.8.21

На рис.8.21 приведена эпюра изгибающих моментов, величины изгибающих моментов на концах участков и величины реакции опор, возникающие от сосредоточенного момента, направленного по ходу часовой стрелки, т.е. имеющего знак плюс.

В частном случае, когда внешний момент приложен посередине пролета стержня (в этом случае ) опорный изгибающий момент, изгибающие моменты в сечении, где приложен внешний момент, а также величины реакций опор, будут соответственно равны: ,

, , , .

Для построения единичных эпюр изгибающих моментов в основной системе метода перемещений, необходимо вычислить погонные жесткости всех стержней заданной рамы и привести их к одной минимальной погонной жесткости . Погонные жесткости каждого стержня определяются делением их абсолютных жесткостей на длины. Путем сравнения полученных величин определяется минимальная погонная жесткость, которая обозначается . Жесткости других стержней будут иметь значения, равные произведению некоторых постоянных коэффициентов и величины .

Используя приведенные выше эпюры изгибающих моментов для отдельного стержня (п.1-4), легко построить единичные эпюры изгибающих моментов в основной системе метода перемещений для любой рамы.

Используя эпюры изгибающих моментов для отдельных стержней (п. 5 – 10), легко построить грузовую эпюру в основной системе метода перемещений для любой заданной рамы.

Жесткие узлы рамы в основной системе метода перемещений никогда не находятся в равновесии под действием узловых изгибающих моментов, вычисленных при построении единичных и грузовой эпюр.

В этом состоит одно из коренных отличий расчета статически неопределимых рам методом перемещений и методом сил.

Ниже, при решении конкретных примеров расчета статически неопределимых рам методом перемещений, будут даны подробные разъяснения и рекомендации, которые следует использовать при построении единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов в основной системе.