Задание систематических сверточных кодов

Систематические СК задаются:

I. с помощью порождающей матрицы – G_¥(х);

II. с помощью проверочной матрицы – H_¥(х);

III. с помощью разностных треугольников;

IV. с использованием совершенных разностных множеств.

I. Задание систематических СК с помощью порождающей матрицы G_¥(х)

Порождающая матрица систематического СК имеет более сложное построение, чем у группового кода. Это определяется из-за полубесконечной структуры порождающей матрицы СК, имеющей вид:

где "0" - области матрицы, состоящие полностью из нулевых двоичных символов,

т - количество порождающих матриц вида

где – коэффициенты равны либо 1, либо 0.

Систематический ССК задаются следующей порождающей матрицей G_¥(х):

II. Задание систематических СК с помощью проверочной матрицы H_¥(х)

Проверочная матрица Н_¥(х) СК, как и порождающая матрица, является полубес­ко­нечной:

- совокупность проверочных подматриц, имеющих форму треугольника.

Порождающая и проверочная матрицы СК, как и у линейных кодов, связаны выражением: G_¥(х)×H^T_¥(х)= H_¥(х)×G^T_¥(х) =0.

Для систематического ССК с алгоритмом порогового декодирования проверочная матрица H_¥ задается следующим образом:

(n₀-k₀) строк

Из данной проверочной матрицы следует, что для ССК с проверочная матрица Н¥(х) содержит (n₀–k₀) строк и k₀ столбцов проверочных треугольников. Для ССК с , n₀= 2;3; …, проверочная матрица Н¥(х)содержит k₀=1, т.е. один столбец и n₀ строк проверочных треугольников.

Каждый из проверочных треугольников Н^D_i,_k0+i, i=1,2, …; k₀=1,2,…, проверочной матрицы Н_¥ (х) общем случае имеет вид:

,

где q – коэффициенты, равные либо 1, либо 0; j, i – номера соответственно строки и столбца матрицы Н_¥(х), которыми определяется проверочный треугольник; 0, …m – порядковые номера степеней, в которые возводятся соответствующие коэффициенты порождающего полинома.

Основную информацию о самоортогональных сверточных кодах ССК несут коэффициенты левого столбца и нижней строки проверочного треугольника.

Пример: задан проверочный треугольник:

По данному проверочному треугольнику можно определить параметры ССК с алгоритмом ПД:

1. Поскольку задан один проверочный треугольник, то k₀=1, n₀=k₀+1=2,. r=( n₀-k₀)/n₀×100%=(1-R)×100%=50%.

2. Так как k₀=1, то ССК задается одним порождающим полиномом, определяемым коэффициентами левого столбца и нижней строки проверочного треугольника.

g(x)=1+x²+x⁶+x⁷

3. Количество ненулевых членов порождающего полинома определяет число проверочных уравнений: J=4. Следовательно, ССК может исправлять ошибки и обнаруживать ошибки.

d₀=J+1=4+1=5

4. Строки проверочного треугольника, которые начинаются с ненулевых двоичных символов, формируют проверочные уравнения, размеры данных проверок и номера позиций информационных и проверочных символов, участвующих в формировании проверочных уравнений. Размеры проверок в проверочном треугольнике обозначены цифрами перед стрелками и определяются количеством ненулевых символов в строке. Для данного примера имеем:

s₀=е₀ⁱ+e₀^p (i– информационный символ, р – проверочный)

s₂=е₀ⁱ+e₂ⁱ+e₂^p

s₆=е₀ⁱ+e₄ⁱ+e₆ⁱ+e₆^p

s₇=е₀ⁱ+e₁ⁱ+e₅ⁱ+e₇ⁱ+e₇^p

5. Длина кодового ограничения n_A и эффективная длина кодового ограничения n_e СК равны, соответственно,

n_A=(m+1)n₀=(7+1)2=16 двоичных символов;

=8+2+1=11 двоичных символов.

На практике наибольшее применение получили два способа построения проверочных треугольников:

- с помощью разностных треугольников

- с помощью совершенных разностных множеств.

III. Задание систематических СК с помощью разностных треугольников

Разностный треугольник представляет собой совокупность целых, действи­тель­ных и неповторяющихся чисел, записанных в форме треугольника. Для ССК с R = k₀/n₀ количество разностных треугольников равно числу k₀. Для всех разностных треугольников общим числом является “0”, который не указывается в совокупности чисел, однако учитывается при выборе степеней ненулевых членов порождающих полиномов. Степени ненулевых членов порождающих полиномов по заданным или построенным разностным тре­уголь­ни­кам можно найти путем выбора чисел:

· левого крайнего столбца разностного треугольника, считывая их сверху вниз и дополняя числом “0”,

· верхней строки разностного треугольника в такой последовательности: первое число – показатель степени второго ненулевого члена порождающего полинома; суммирование первого и второго чисел первой строки разностного треугольника определяет показатель степени третьего ненулевого члена порождающего полинома и т.д.

Пример: Определить параметры ССК с алгоритмом ПД при следующем разностном треугольнике:

1. Так как задан один разностный треугольник, то k₀=1, n₀=k₀+1=2, , код имеет один порождающий полином.

2. Выписывая числа левого крайнего столбца разностного треугольника, определяем показатели степеней порождающего полинома: (0,2,6,7). Следо­ва­тель­но, порождающий полином ССК имеет вид: g(х)=1+x²+x⁶+x⁷. При втором способе –0; 2; 2+4=6; 2+4+1=7. Как правило, в литературе разностные треугольники табулированы и представлены, например, так: ((2,4,1), (3,5,2)). Это означает, что ССК имеет соответственно параметры: k₀=2, n₀=k₀+1=3, и g₁(x)=1+x²+x⁶+x⁷ и g₂(x)=1+x³+x⁸+x¹⁰.

Разностный треугольник ССК может быть построен, если задан прове­роч­ный треугольник, и наоборот.

Пример: По проверочному треугольнику построить разностный.

Числа крайнего левого столбца разностного треугольника определяются как результат операции вычитания порядковых номеров строк проверочного треугольника, которые начинаются с “1”. Для первого столбца получаем следующие числа: 3–1=2 (3 – номер позиции третьей строки, 1 – номер позиции первой строки); 7–1=6 и 8–1=7. Для получения чисел второго столбца за вычитаемое берем номер позиции третьей строки: 7–3=4 и 8–3=5. Для получения чисел третьего столбца за вычитаемое берем номер позиции седьмой строки: 8–7=1.

Числа, входящие в разностные треугольники, должны быть целыми, действительными и неповторяющимися. Только в этом случае будет сформирована система ортогональных (раздельных) проверок. Для получения совокупности таких чисел известно достаточно много способов их нахождения, но наиболее эффективным является способ, основанный на теории совершенных разностных множеств.

V. Задание систематических СК с использованием

совершенных разностных множеств

Совершенное разностное множество – это совокупность целых, дей­стви­тель­ных и неповторяющихся чисел d₁, d₂, … d_x, причем d₁<d₂<d_x и разности этих чисел полученных по некоторому mod x (x¹2), также образующих совокупность целых, действительных и неповторяющихся чисел.

Данную совокупность полученных разностных чисел можно использовать в качестве исходных чисел для формирования разностных треугольников и выбора соответствующих порождающих полиномов ССК.

При выборе чисел для построения разностных треугольников необходимо выбирать числа с наименьшим их значением по номиналу, т.к. максимальное значение числа в построенных разностных треугольниках определяет максимальную степень m порождающих полиномов ССК.

Рассмотрим построение ССК с алгоритмом ПД с использованием совер­шен­ных разностных множеств.

Пусть, например, имеется совокупность b=3-х целых, действительных и неповторяющихся чисел (b=1,2,3) и эта совокупность образует b²+b=3²+3=12разностей по модулю b²+b+1=3²+3+1=13, которые равны следующим числам:

Полученную совокупность разностных чисел можно разбить на следующие подмножества:

1

.

Каждый из столбцов данного множества можно использовать для построения разностного треугольника. Следовательно, можно построить k₀=4 разностных треугольника и четыре ССК с , с J=4 и с с J=5, разбив данное множество на три подмножества.

Отметим, что с использованием теории совершенных разностных множеств были рассчитаны и табулированы показатели степеней ненулевых членов порождающих полиномов ССК с для J=2…16.