Условные вероятности

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события может влиять на возможность наступление другого. Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем , обозначается символом . Таким образом, по определению:

, .

(3.3)

Вероятность Р(В), в отличии от условной, называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т.е. :

, .

(3.4)

Отметим, что условная вероятность, скажем , удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

,

,

, если .

Поэтому для условной вероятности справедливы все свойства из аксиом.

Пример 3.2. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-й шар окажется белым при условии, что 1-й шар был черным?

Решение:

1-й способ. Пусть А – 1-й шар черный, В – 2-й шар белый. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому .

2-й способ. Найдем по формуле (3.3). очевидно, что . Находим : - общее число исходов (появление двух шаров). Событию АВ благоприятствуют исходов. Поэтому . Следовательно,

.