Формула полной вероятности

Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса. Напомним, что события А₁,А₂,…..,А_n образуют полную группу, если , и . Систему таких событий называют также разбиением.

Теорема 3.2.Пусть события образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности.

.

(3.11)

Доказательство. Так как , то в силу свойств операций над событиями, . Из того, что , следует, что , , т.е. события и также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей

, т.е. .

По теореме умножения вероятностей , откуда и следует формула (3.11).

Отметим, что в формуле (3.11) события обычно называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А - один из возможных исходов второго этапа.

Пример 3.4.В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% - из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Решение:

Взятие детали можно разбить на два этапа.

Первый этап – это выбор цеха. Имеется две гипотезы: Н₁ – деталь изготовлена I цехом, Н₂ – II цехом.

Второй этап – взятие детали. Событие А – взятая на удачу стандартная деталь. Очевидно, события Н₁ и Н₂ образуют полную группу, Р(Н₁)=0,4, Р(Н₂)=0,6.

Числа 0,90 и 0,95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез Н₁ и Н₂ соответственно, т.е.

и .

По формуле (3.11) находим

.

Формула Байеса

Следствием формулы (3.11) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Н_i, принятых до опыта и называемых априорными по результатам уже проведенного опыта, которые называются апостериорными,т.е. найти условные вероятности .

Теорема 3.3Пусть события образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события H_k при условии, что событие А произошло, задается формулой:

.

(3.12)

где – формула полной вероятности. Формула (3.12) называется формулой Байеса.

Доказательство. Применив формулы условной вероятности и умножения вероятностей, имеем

,

где Р(А) – формула полной вероятности.

Пример 3.5. В примере 3.4. найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена II цехом.

Решение:

Определим вероятность гипотезы H₂ при условии, что событие А (взятая стандартная деталь) уже произошло, т.е. :

.