Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий определяется аксиомой А3:

, .

Выведем формулу вероятностей двух совместных событий.

Теорема 3.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения

.

(3.1)

Доказательство. Представим события и В в виде суммы двух несовместных событий: , . В справедливости формул можно наглядно убедиться на рис.1.

Рис. 1

Тогда согласно аксиоме А3, имеем: и . Отсюда следует .

Формула (3.1) справедлива для любых событий А и В.

Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий. Для трех событий она имеет вид:

.

(3.2)

Вероятность суммы нескольких совместных событий , можно найти, используя равенство , где - противоположно событию S. Тогда .

Пример 3.1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение:

Введем события: А – появление шестерки на первой кости, В – появление шестерки на второй кости. Тогда А+В – появление хотя бы одной шестерки при бросании костей. События А и В совместные. По формуле (3.1) находим

.

Иначе: . Следовательно, .