Влияние переключающих устройств (коммутаторов) на качество резервирования замещением (на качество «холодного» резервирования).

Реальные системы с общим резервированием замещением используют переключающие устройства, которые, в свою очередь, имеют способность отказывать, т.е. обладают конечной надежностью, влияющей на вероятность безотказной работы резервированной системы. Отказы коммутаторов могут быть двух видов: не выполнение включения резервного устройства в нужный момент времени и преждевременное включение в работу резервного устройства. В дальнейшем будем полагать, что любой из этих случаев считается отказом переключающего устройства, а интенсивность его отказов является их обобщением.

Рис. 6.3. Схема функционирования системы с резервированием замещением при реальных коммутирующих устройствах, включенных в цепи основного и резервных устройств.

Рис. 6.4. Схема функционирования системы с резервированием замещением при реальных коммутирующих устройствах, включенных только в цепи резервных устройств.

Среди различных вариантов использования коммутаторов в дальнейшем будем рассматривать модели систем, схемы которых изображены на рис. 6.3 и рис.6.4.

Из рис. 6.3 видно, что как основное, так и любое резервное устройства в смысле надежности равнозначны, вследствие чего такую систему можно рассматривать как резервированную m раз систему, интенсивность отказов каждого устройства которой равна:

(6.28)
где l₀(t) –– интенсивность отказов основного или любого резервного устройства; l_k(t) –– интенсивность отказов коммутатора.

Система, изображенная на рис. 6.4, отличается тем, что основное устройство не имеет коммутатора, тогда как все резервные устройства оснащены коммутирующими устройствами, включающими резерв в случае выхода из строя основного устройства или очередного замещающего. Заметим, что в данном случае все резервные устройства равнонадежны между собой и интенсивность их отказов определяется (6.28), а интенсивность отказов основного устройства равна l₀(t).

Становится ясным, что общие формулы, выведенные для оценки вероятности безотказной работы и вероятности отказов системы, резервированной по способу замещений («холодное» резервирование), пригодны для определения надежности системы с учетом влияния возможных отказов коммутаторов.

Методика вычислений не отличается от методики для случая идеального коммутатора. Отличие будет состоять лишь в том, что условная вероятность P(t,t) безотказной работы одной резервной системы в течение времени (t-t) и функция a₀(t) распределения времени повреждения (частота отказов) системы будут иметь несколько иной вид.

В целом работа резервированной системы представляется следующей моделью. При включении системы вступает в работу основное устройство и все переключатели, а резервные устройства находятся в ждущем режиме. При этом переключатели находятся в облегченном режиме нагрузки до момента выхода из строя предыдущего устройства и перехода резервной системы в активный режим функционирования.

В этом случае, как и прежде вероятность безотказной работы системы будет определяться выражением (6.18). При этом вероятность Р(t-t) будет представлять собой вероятность безотказной работы одного резервного устройства в течение времени (t-t), вычисленную при условии, что переключатель не отказал в течении времени t.

Эта вероятность равна:

(6.29)
где t –– момент включения в работу очередного резервного устройства; Р₀(t-t) –– безотказность работы резервного устройства от момента замещения до момента t; Р_k(t) –– вероятность безотказной работы коммутатора до момента включения в работу резервной системы, в состав которой он входит; Р_k(t-t) –– вероятность безотказной работы коммутатора от момента включения в работу соответствующей резервной системы до момента t.

Введем обозначение:

(6.30)
которое представляет собой вероятность безотказной работы соединения, образуемого устройством и переключателем. Тогда, подставив (6.30) и (6.29) в (6.18), получим:

(6.31)
Из (6.31) видно, что коммутаторы оказывают на надежность резервированной системы такое же влияние, как состояние резервных устройств до момента замещения ими отказавшего устройства.

Полагая, что справедлив экспоненциальный закон надежности для устройств и переключателей, будем иметь.

Для системы, изображенной на рис. 6.3:

(6.32)
Для системы, изображенной на рис. 6.4:

(6.33)
где l_k –– интенсивность отказов переключателя до момента включения резервного устройства; l_k2 –– интенсивность отказов переключателя после момента включения резервного устройства.

В дальнейшем будем полагать, что интенсивность отказов коммутаторов не зависит от момента их включения, т.е.

Основные показатели надежности системы, изображенной на рис. 6.3, с учетом принятых допущений будут иметь вид:

(6.34)

(6.35)

(6.36)
где

(6.37)
Приведенные выше зависимости непригодны для систем, изображенных на рис. 6.4, поскольку в этом случае основное устройство не содержит коммутатора. Для этой системы вывод расчетных формул можно осуществить на основе рекуррентного соотношения (6.31) и формул (6.33). В результате эти зависимости принимают вид:

для m=1

(6.38)
для m=2

(6.39)
для m=3

где

(6.40)
Среднее время безотказной работы системы, функциональная схема которой представлена на рис. 6.4, как интеграл от , вычисленный в пределах от 0 до ¥ , будет иметь следующий вид:

для m=1

(6.41)
для m=2

(6.42)

для m=3 (6.43)

Представленные выражения дают возможность оценить выигрыш резервированной системы (при «холодном» резервировании и схеме функционирования, изображенной на рис. 6.4) по среднему времени безотказной работы в сравнении с нерезервированной системой (отношение среднего времени безотказной работы резервированной системы к среднему времени безотказной работы нерезервированной системы):

для m=1

(6.44)
для m=2

(6.45)
для m=3

(6.46)

Зависимости критерия G_T от кратности резервирования m приведены на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Зависимость выигрыша надежности резервированной системы (схема рис. 6.4) по критерию среднего времени безотказной работы

На рис. 6.5 принято: L(0) соответствует , L(0.1) соответствует , L(0.5) соответствует , L(1.0) соответствует .

Анализ зависимостей, представленных на рис. 6.5 показывает, что существенный выигрыш надежности по критерию среднего времени безотказной работы системы при «холодном» резервировании возможен только в случае использования высоконадежных переключающих устройств. В противном случае «холодное» резервирование может быть мало эффективно.

Наиболее целесообразным с позиций увеличения среднего времени безотказной работы является простое дублирование.

При низкой надежности коммутаторов «холодное» резервирование может уступать по эффективности «горячему».

Определенный интерес представляет оценка выигрыша «холодного» резервирования по критерию вероятности отказа резервированной системы в сравнении с нерезервированной.

Отношение вероятности отказа резервированной замещением (по схеме, изображенной на рис. 6.4) и нерезервированной систем при учете только внезапных отказов:

при m=1

(6.47)
при m=2 (6.48)

при m=3 (6.49)

Анализ приведенных выражений показывает, что при небольших значениях произведения l₀t принцип «холодного» резервирования дает значительный выигрыш по надежности в сравнении с нерезервированной системой даже при малонадежных коммутаторах. Этот выигрыш уменьшается с ростом l₀t. Введем .

Следовательно, если система состоит из высоконадежных устройств или она предназначена для кратковременного периода работы, то метод «холодного» резервирования способен существенно повысить надежность системы.

Рис. 6.6. Сравнение резервированной системы («холодное» резервирование по схеме рис. 6.4) с нерезервированной при по отношению G_Q вероятности отказа резервированной системы к вероятности отказа нерезервированной системы при различных значениях и различной кратности резервирования m, (общее число устройств системы равно m+1)

Рис. 6.7. Отношение вероятности отказа резервированной (по схеме рис. 6.4) и нерезервированной систем при и прочих условиях, совпадающих с рис. 6.6.

При использовании высоконадежных коммутаторов выигрыш надежности за счет «холодного» резервирования получается весьма ощутимым при больших значениях . Например, при кратности резервирования m=3 и К=0.1 вероятность отказа резервированной системы при уменьшается почти в 15 раз.