Устойчивость линейных динамических систем

Устойчивость динамической системы – это способность динамической системы возвращаться в исходное установившееся состояние после снятия внешних воздействий (возмущений).

Линейные динамические системы можно разделить на устойчивые, неустойчивые и нейтральные. Нейтральной называется система, которая приходит при снятии возмущения в новое установившееся состояние. Об устойчивости системы можно судить, например, по виду ее импульсной переходной характеристики, характеристики для всех трех случаев приведены на рис. 13-1.

Рис. 13-1. ИПХ устойчивой, неустойчивой и нейтральной систем.

Существует несколько возможных причин неустойчивости динамических систем:

1. Наличие замкнутых контуров в системах управления и регулирования.
2. Наличие в системе положительных обратных связей.

В общем случае (то есть, для нелинейных систем) говорят об устойчивости движения системы, а не просто об устойчивости системы. В одной и той же системе могут быть и устойчивые и неустойчивые движения. В одной и той же системе могут быть и устойчивые и неустойчивые движения.

В настоящее время мы рассматриваем линейные системы, для которых устойчивость является внутренним свойством системы, она не зависит от вида возмущения или точки его приложения.

Устойчивая система – это система, которая после устранения воздействия на нее прекращает движение и самостоятельно переходит к некоторому установившемуся состоянию.

Импульсная переходная характеристика, отражающая устойчивость, выражается формулой:

. (13-1)

s₁...s_n – корни характеристического уравнения. Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю:

. (13-2)

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы – все вещественные корни характеристического уравнения должны быть отрицательными, все комплексные корни должны иметь отрицательную вещественную часть. То есть, можно сказать, что система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой комплексной полуплоскости.

Если имеется хотя бы один нулевой корень, система нейтральна.

Если имеется два чисто мнимых корня, то система находится на границе устойчивости.

Если имеется два нулевых корня или две пары мнимых корней, то система неустойчива.

Таким образом, нет необходимости искать сами корни, нужно только выяснить, где они расположены. Для этого применяются специальные правила под названием критерии устойчивости.