Зависимые начальные условия

Значения всех других функций и значения производных от всех без исключения функций в момент времени называют зависимыми начальными условиями. Это, например, , , , и т.д. Поведение этих функций в момент визуально неопределимо. Может оказаться, например, что , или . Все зависит от содержания схемы. Поэтому эти начальные условия называются зависимыми, они не могут быть извлечены из старого установившегося режима и требуют специального расчета в каждой конкретной ситуации.

Расчет зависимых начальных условий:

1. Сначала рассчитываются независимые начальные условия.

2. Составляется система независимых уравнений Кирхгофа послекоммутационной схемы для мгновенных значений .

3. В уравнения на место независимой переменной подставляется её конкретное значение . Все функции превращаются в числа. Система из дифференциальной превращается в алгебраическую, где искомыми величинами являются начальные значения . Здесь внешние источники представлены значениями и , а функции и известными начальными значениями и . .

4. Поскольку это полная система независимых уравнений, количество зависимых начальных условий равно количеству уравнений, и система всегда имеет однозначные решения. Зависимые начальные условия являются решениями этой системы.

5. В цепи второго порядка для каждой функции нужно будет определять две постоянных интегрирования, для чего потребуются начальные условия первых производных .

Сначала, исходя из дифференциальной связи токов и напряжений на реактивных накопителях, рассчитываются начальные значения и . Из соотношения следует, что . Аналогично из связи определяем, что .

Далее надо продифференцировать систему уравнений послекоммутационной схемы и записать её для мгновенных значений при . Здесь будут известны уже начальные значения возмущений , и рассчитанные ранее , . В такой системе число уравнений равно количеству неизвестных еще начальных значений производных.

4. Пример:Рассчитаем все начальные условия для схемы (рис. 1.9):

Рис. 1.9

(В),

(1/с),

(А),

(Ом),

(мГн),

(мкФ).

Решение:

1. Старый установившийся режим (СУР).

; .

В конце старого установившегося режима:

, .

2. Независимые начальные условия (ННУ):

, .

3. Начальные значения возмущений:

; .

4. Зависимые начальные условия:

Начальные значения функций:

для

Здесь известны: , , , .

Решая систему, получили:

Определим начальные значения производных из дифференциальных соотношений:

А/с;

В/с.

Уже из этих результатов, определяющих очень большие начальные скорости некоторых переходных функций, следует заключение о скоротечности электромагнитных переходных процессов.

Продифференцируем систему уравнений Кирхгофа:

для

Т.к. и , то, решая систему, получим:

.

5. Схема замещения цепи для расчета зависимых начальных значений функций

В момент из конца старого установившегося режима сохраняются значения . Эти известные величины можно задать источниками тока и ЭДС . В соответствии с принципом компенсации направляется навстречу току в ветви (т.е. навстречу напряжению ). Если при этом внешние источники представить величинами и , то во всех ветвях схемы будут наблюдаться мгновенные значения остальных функций и получится схема замещения цепи для расчета начальных значений функций. При нулевых независимых начальных условиях индуктивность разрывает ветвь, а емкость является короткозамкнутым участком. (Рис. 1.10)

Рис. 1.10

Для выше рассмотренного примера имеем:

Рис. 1.11

Схема (рис. 1.11) описывается теми же самыми алгебраическими уравнениями. Принципы построения схемы замещения элементарны.

Смысл построения такой схемы заключается в расширении возможностей расчета зависимых начальных условий . Для ее расчета можно воспользоваться любым известным методом (методом контурных токов, методом узловых потенциалов и т.д.).

6.Схема замещения не содержит реактивных элементов. Значит, зависимые начальные условия для не зависят от реактивных параметров и .

От реактивных параметров зависят начальные значения производных .