Дискретный ряд Фурье

Т.к. частотная характеристика дискретной системы является периодической функцией аргумента ω , то соотношение между частотной и импульсной характеристиками можно рассмотреть как разложение частотной характеристики в ряд Фурье, где коэффициентами разложения являются отсчеты импульсной характеристики:

∞

H(e^(jω))=∑h(n)·e^(-jωn)

n =-∞

Тогда, в соответствии с теорией рядов Фурье, отсчеты импульсной характеристики м.б. в свою очередь выражены через частотную характеристикусистемы :

π

h(n)=1/2π ∙∫ H(e^(jω))∙ e^(jωn)dω

-π

Т.о. импульсная и частотная характеристики связаны между собой парой преобразования Фурье.

Из последнего соотношения следует, что отсчеты импульсной характеристики м.б. получены в виде супер-позиции комплексных экспонент с амплитудами, определяемыми модулем частотной характеристики.

Пара преобразований Фурье справедлива для любой последовательности с конечной суммой элементов, т.о., расширяя круг представлений, можно для произвольной входной последовательности записать :

π

x(n)= 1/2π ∙∫ X(e^(jω))∙ e^(jωn)dω ,

-π

где, в свою очередь, комплексный спектр входной последовательности, в общем случае, определяется суммой в бесконечных пределах произведений :

∞

X(e^(jω))=∑х(n)·e^(-jωn) – комплексный спектр входной последовательности.

n =-∞

Отклик системы на входную последовательность м.б. записан след. обр.:

π

у(n)= 1/2π ∙∫ X(e^(jω))∙H(e^(jω))∙e^(jωn)dω ,

-π

где Y(e^(jω))= Х(e^(jω))·H(e^(jω))

Т.о. и для дискретных последовательностей отклик системы, описываемый свёрткой во временной области, соответствует произведению спектра на частотную характеристику в частотной области.

Частотная характеристика представляет собой отклик на ограниченный класс входных последовательностей вида e^(jωn), где аргумент ω определяется на интервале [0;2π].

С учетом соотношения, показывающего, что произвольные последовательности являются суперпозицией таких экспонент, такой способ представления является важным средством описания отклика системы на ”почти” любые входные последовательности.

…………………………………………………………………………………………

Примечание :

Для того, чтобы выразить спектральный состав последовательности x(nT) в единицах частоты, необходимо ввести в рассмотрение конкретный интервал дискретизации Т.

Тогда соотношения между частотной и импульсной характеристиками будут выглядеть следующим образом :

∞

H(e^(jωТ))=∑h(nТ)·e^(-jωnТ)

n =-∞

π/Т

h(nT)= 1/2π ∙∫ H(e^(jωT))∙e^(jωnT)dω .

-π/T

Функция H(e^(jωT)) периодична по частоте ω с периодом 2π/Т.

После этого, круговая частота ω имеет привычную размерность [рад/с] , после чего она м.б. выражена в единицах циклической частоты, если заменить

ω на 2π/f.

…………………………………………………………………………………………

частотный спектр, обладают свойством симметрии.

На всех 3-х рисунках : верхний спектр – спектр непрерывной последовательности,

нижний спектр – спектр дискретной последовательности.

1) Ширина спектра непрерывного сигнала полностью соответствует главному лепестку периодического спектра дискретного сигнала (по методу спектрального разложения).

Интервал дискретизации и интервал наблюдения определимы однозначно и правильно;

2) Спектр непрерывного сигнала уже главного лепестка, соответствующего этому непрерывн. сигналу, спектра непрерывной дискретной последовательности

Частота дискретизации и интервал наблюдения избыточны. Цифровая система спектрального анализа во 2-м случае выполняет ряд лишних вычислительных операций;

3) Спектр непрер. сигнала шире главного лепестка дискретного сигнала. В результате 3-го случая, ВЧ-составляющие спектра непрерывного сигнала попали в область более низких частот в спектре дискретной последов-ти.

Такое смещение спектральных составляющих из одного диапазона частот в другой называется наложением спектров. В большинстве случаев это является следствием выбора избыточно низкой частоты дискретизации (Т велико).

Полученную т.о. последовательность называют представлением непрерывного колебания с наложением.

Неправильно выбранные интервалы дискретизации могут привести к искажению спектрального состава, кот. соответствуют 2) и 3) случаям (нелинейные искажения).

Z – преобразование

При анализе и синтезе дискретных и ЦУ-в, одним из полезных методов представления последов-ти является так называемое Z – преобразование.

Для последов-ти x(n), заданной для всех -∞ < n < ∞ , Z – преобразование определяется как :

∞

X(n)=∑x(n)z‾ ⁿ

n=-∞

Т.е. конечной или бесконечной последов-ти отсчетных значений некоторого сигнала ставится в соответствие сумма ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z . Если эта сумма существует, то она и является

Z – преобразованием последовательности.

Смысл введения такого математического объекта связан с тем, что свойства последов-тей м.б. использованы методами мат. анализа их Z – преобразований.

Примеры :

1) 1, n=0

x(n)= – единичный импульс

0, n≠0 (в дискретных системах нет δ-функции)

Сумма ряда по отрицат. степеням комплексной переменной равна :

X(z)=1/z˚=1

Þ Z – преобразование единичного импульса как конечная сумма ∞-го ряда

сходится на всей компл. плоскости в результате того, что единичный импульс является последов-тью конечной длины.

2) 1, n≥0

x(n)=

0, n<0

X(z) = [z°+zˉ¹+zˉ²+…+zˉºº] = ((1-zˉ¹)/(1-zˉ¹))·[ ] = 1/(1-zˉ¹) = z/(z-1) , z≠1

Если |z| >1 , то функция сходится. Особая (·)-ка Z – преобразования единичного скачка – при z =1.

Из этого примера следует, что если число слагаемых ∞-но велико, то возникает необходимость исследовать сходимость ряда, определяющего его

Z – преобразование. При этом, в области сходимости, сумма ряда представляет собой аналитическую функцию комплексной переменной z , не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Применително к Z – преобразованию единичного скачка, ∞-ый ряд сходится при любых z в кольце |z| >1. На границе области аналитичности , т.е. где z =1, эта функция имеет единственный полюс.

3) Z – преобразование простой экспоненциальной последовательности:

aⁿ , n≥0

x(n)= X(z) = z / (z-а). Область аналитичности : |z| >а

0 , n<0