Дельта-функция и её Фурье-образ

Дельта-функция δ(t) является обобщённой функцией и математически она определяется так:

(3.32)

где f(t) – произвольная кусочно-непрерывная функция. Дельта-функция так узка, что функция в (3.32) выносится за знак интеграла как константа.

То есть эта функция не равна нулю только в точке t = 0, где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда.

Для физика полезно представить дельта-функцию в виде предела некоторой обычной функции. Существует много таких представлений. Вот одно из них:

где а (3.33)

Для справки: у Рыжика и Градштейна (3.34)

Из этого определения видно, что дельта-функцию можно представить как "колокол" с центром в начале координат, ширина "колокола" стремится к нулю, а высота увеличивается так, чтобы площадь под "колоколом" оставалась равной единице. Функцию D(t, α) называют "размазанной" дельта-функцией.

Найдём Фурье преобразование функции D(t, α):

Из (3.20, 3.21): (3.35)

Подставим сюда D из (3.33): (3.36)

Представим показатель степени экспоненты как:

Обозначим

см. (3.34)

Теперь мы можем формально найти Фурье-образ дельта-функции, переходя к пределу.

Это Фурье-образ, или спектр δ-функции. (3.37)

(3.38)

Когда t = 0 интеграл от единицы равен бесконечности.

Когда t ≠ 0, то это интеграл от знакопеременной функции и он равен нулю.

Иногда интеграл (3.38) используют как ещё одно определение дельта-функции.

Переход к пределу иллюстрирует рис. 3.23. Видно, что чем у́же функция D(t,α) тем шире её Фурье-образ. Для настоящей дельта-функции спектр сплошной, его амплитуда постоянна и равна единице.

Рис. 3.23А. Рис. 3.23Б.

А: Графики "размазанной" дельта-функции D(t, α) при различных значениях параметра α.

Б: Графики образа Фурье "размазанной" дельта-функции D(ω, α) при тех же значениях.

Видно, что при уменьшении α функция D(t, α) становится всё более узкой, тогда как её Фурье образ D(ω, α) становится шире, стремясь к спектру дельта-функции, то есть к единице. При ω = 0 значение D(ω, α) = 1 независимо от "ширины колокола" рис. 3.23А. [3, стр. 44]