Обратное Z – преобразование

Важен не только переход от последов-ти к Z – преобразованию, но и обратно.

Свойство Z – преобразования состоит в том, что функция X(z) определяет всю последов-ть отсчетов х0, х1, …хn.

Для того, чтобы найти обратное преобразов-е, необходимо обе части ряда, определяющего прямое преобразов-е, домножить на множитель z ⁿ ‾ ¹ :

z ⁿ ‾ ¹· X(z) =х0· z ⁿ ‾ ¹+х1· z ⁿ ‾²+…+хn· z‾ ¹

Затем необходимо вычислить интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции X(z). При этом нужный табличный интеграл выглядит след. образом :

2πj , n = -1

§ z ⁿ dz =

0 , n ≠ -1

В результате все слагаемые, за исключением слагаемого с номером n , в правой части равенства обращаются в ноль. Тогда :

х(n)= 1/2πj ∙§z ⁿ ‾ ¹ ∙X(z)dz – эта последняя формула определяет обратное

Z – преобразование.

Пример :

Пусть X(z) = (z+1) / z – задано Z – преобразование. Необходимо определить последов-ть х(n) = ?

Область аналитичности – вся Z–плоскость, кроме (·)-ки 0 (т.к. там растет полюс) , т.е. z ЄR/{0}. Если существует область аналитичности Þ x(z) м.б.

Z – преобразованием некоторой последовательности.

Вычисляем последовательность х(n) :

х(0) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ‾ ¹ dz = 1/2πj ·[§z/z² dz + §1/ z² dz] = 2πj/2πj = 1

х(1) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ° dz = 1

х(2) = 1/2πj ∙§[(z+1) / z]·z ¹ dz = 0

Дискретное преобразование Фурье – частный случай Z – преобразований.

Если все особые точки расположены внутри единичного радиуса, то система ссоответствующей ей импульсной характеристикой является устойчивой. В этом также важная роль единичной окружности в Z–плоскости.