Рекурсивные цифровые фильтры.

Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью x(n) и откликом фильтра y(n) может быть записано следующим образом:

y(n) = F [ y(n-1), y(n-2),………, x(n), x(n-1),……..],

т.е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующими значениями входной последовательности, но и предшествующими значениями отсчетов отклика.

Системную функцию цифрового фильтра можно выразить в виде дробно-рационального полинома от переменной z^-1, т.е.

N

S a_iz^-i

Y(z) i = 0

H(z) = =

X(z) N

Sb_iz^-i

i = 0

Предполагается, что степени числителя и знаменателя одинаковы.

Приведя к общему знаменателю, можно записать:

N N

Y(z)Sb_iz^-i = X(z)Sa_iz^-i

i=0 i=0

Если рассматривать члены вида z^-kY(z) как обратные z-преобразования последовательности у(n-k), взяв обратные z- преобразования обеих частей последнего равенства, можно получить искомое разностное уравнение

N N

Sb_iy(n-i) = Sa_ix(n-i)

i=0 i=0

Поскольку b₀ = 1, уравнение можно решить относительно y(n)

N N

y(n) = S a_ix(n-1) - Sb_iy(n-i)

i=0 i=1

Структура реализации данного разностного уравнения представлена на рис.

Она носит название прямой формы. В этой структуре для образования цепей, соответствующих числителю и знаменателю, используются раздельные элементы задержки. Характерными чертами этой структуры являются ее простота и непосредственная связь с z-преобразованием.

Если записать системную функцию в несколько ином виде:

Y(z) 1 N

H(z) = = ´ Sa_iz^-i = H(z)₁ ´ H(z)₂

X(z) Sb_iz^-i i=0

z^-1 z ^-1 z ^-1

a₁ a ₂ a_N

a₀

+ + + + + + +

-b_N -b_N-1 -b_N-2 -b₁

z^-1 z^-1 z^-1

Рис.

Тогда можно получить другую структуру фильтра. Если записать:

W(z) 1

H₁(z) = =

X(z) S b_iz^-1

ⁱ⁼¹

Y(z) _N

H₂(z) = = S a_iz^-1

W(z) ⁱ⁼⁰