Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой

ЦФ – дискретная система, т.е. физическое устройство или программа, которая преобразует входную числовую последов-ть в выходную.

Формально операция ЦФ-ра м.б. представлена след. образом :

{ х(n) }→ {у(n)}

Линейный ЦФ – характереен тем, что сумма любого числа входных

последов-тей, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму откликов на отдельные слагаемые.

Стационарный ЦФ -- линейный ЦФ, в котором при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации, его импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме.

Никогда не возникает вопроса об устойчивости и физической реализуемости фильтров с конечной импульсной характеристикой, т.к. последняя гарантирует устойчивость.

Но существует определенное противоречие между конечной импульсной характеристикой и конечной (финитной) с острыми срезами АЧХ-кой, которая наиболее предпочтительна на практике.

До появления алгоритма быстрого преобразования Фурье , реализация фильтров с конечной импульсной характеристикой, достаточно хорошо аппроксимирующих линейную ФЧХ-ку и с крутыми срезами АЧХ, считалась нереальной.

Пример :

Прямоугольный импульс – сплошной нефинитный спектр; спектральная линия – бесконечное во времени колебание.

Крутые фронты АЧХ и линейные фронты ФЧХ, отсюда противоречие.

Но разработка на основе БПФ (быстрые преобразования Фурье) методов быстрой свёртки изменила это положение, и в настоящее время реализация заданных спектральных характеристик на базе фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ) стала возможной.

Соотношение, устанавливающее взаимосвязь между известной импульсной характеристикой и вх. и вых. последов-тями, позволяет записать значение вых. последов-ти для элемента с любым номером.

Т.е. смысл выражениятипа свёртки состоит в том, что в момент каждого отсчета ЦФ-р проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входной последов-ти, причем роль весовых коэффициентов играет последов-ть отсчетов импульсной характеристики.

Для физически реализуемых фильтров импульсная характеристика не может отличаться от 0-ля в отсчетных точках, предшествующих моменту поступления

входной последов-ти Þ суммирование может распространяться только на

(+)-область индексов, обозначающих номер элемента.

Входные и выходные отсчеты, путем умножения на дискретные гармонические последов-ти, позволяют определить последов-ть комплексных чисел, которую называют частотным коэффициентом передачи ЦФ-ра(ЧКП).

Величина ЧКП зависит как от частоты входного сигнала, так и от шага дискретизации, также она зависит от совокупности отсчетов импульсной характеристики.