Разностные уравнения (РУ)

Системы, у которых вх. и вых. последовательности связаны с линейным РУ с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем (ЛС) с постоянными параметрами.

Описание ЛС разностными уравнениями позволяет найти эффективные способы построения таких систем. По РУ-ю можно определить собственные частоты ( f ) системы и их кратность, порядок системы, а также частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи и т.д.

РУ имеет вид :

M M

y(n)=∑b(i)x(n-i)-∑a(i)y(n-i) ,

i=0 i=1

где a и b – описывают конкретную систему, причем a≠0 , b≠0.

Последнее уравнение записывается в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий, под которыми понимаются значения x(i) и y(i) для номеров і = -1, -2, … M и конкретная входная последовательность x(n), методом прямой подстановки по РУ можно вычислить вых. послед-ть y(n) для моментов времени n≥0.

Пример :

Разностное уравнение: y(n)=x(n)-3y(n-1)

Входная последовательность x(n)=n²+n

Начальное условие y(-1)=0

проверить h(0)=1 y(0)=0

устойчивость h(1)=(-3) ∑=∞ y(1)=2

h(2)=9 y(2)=0

h(3)=(-27) y(3)=12

y(4)=(-16)

y(5)=78

y(6)=(-192)

Хотя решение РУ прямой подстановкой в некоторых случаях целесообразно, значительно полезней получить решение в явном виде. Методы нахождения таких решений следует смотреть в справочнике.

Основная идея сводится к получению 2-х решений РУ : 1) однородного ;

2) частного.

1) однородное решение – получается путем подстановки нулей вместо всех элементов, содержащих отсчеты входной последовательности x(n), и определения отклика при нулевой x(n). Эти решения описывают основные свойства заданной системы;

2) частное решение – получается при подборе вида y(n) при заданной x(n)

(см. 2-ю часть примера).

Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия.

Важное значение РУ состоит в том, что они позволяют непосредственно определить способ построения цифровой системы.

Примеры:

1) РУ : y(n)=(-a1)y(n-1)+b0x(n)+b1x(n-1)

Обозначения в схеме :

a1, b0 и b1 – перемножители;

задержка – регистр, осуществляющий задержку на один интервал дискретного времени.

Порядок системыопределяется количеством задержек, включенных последовательно.

3) РУ : y(n)=(-a2)y(n-2)-a1y(n-1)+b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)

Блок задержки осуществляет задержку отсчетов на один интервал дискретного времени.

Для входной и выходной последовательностей используются раздельные элементы – прямая форма. Обе схемы соответствуют прямой форме.

Системы 1-го и 2-го порядков м.б. использованы при реализации систем более высоких порядков, т.к. последние м.б. представлены в виде последовательного или параллельного соединения систем 1-го и 2-го порядков.

Аналогия с активными фильтрами.