Основы теории гидродинамического подобия

Известны два метода исследования физических явлений – аналитический и экспериментальный.

При аналитическом исследовании движения жидкости задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при заданных условиях однозначности. Например, для вязкой несжимаемой жидкости система дифференциальных уравнений включает:

уравнения Навье – Стокса

(16.1)

и уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

(16.2)

Уравнения Навье – Стокса Являются основными в гидромеханике вязкой жидкости и определяют течение реальной вязкой жидкости лишь тогда, когда подтверждается закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости.

Если считать, что массовые силы (их проекции X, Y, Z на координатные оси) заданы, то система уравнений (16.1), (16.2)– это система уравнений с четырьмя неизвестными функциями .

В принципе, эта система при заданных условиях однозначности дает возможность строгого решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости. Однако аналитическое решение уравнений Навье – Стокса найдено лишь для ограниченного числа частных случаев.

Другим методом исследования физических процессов является непосредственный эксперимент. В этом случае измеряются те величины, которые представляют практический интерес, и находятся зависимости, допускающие непосредственное приложение. Недостатком такого метода исследования является то, что полученные результаты только к исследованному случаю и относятся. Задача обобщения данных опыта решается теорией подобия, которая является учением о методах обобщения данных опыта.

Основные понятия и определения теории подобия

Классом явлений называют совокупность явлений одной физической природы, которые описываются одной системой дифференциальных уравнений. Уравнения (16.1) и (16.2) описываются все возможные виды течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах любой формы.

Под единичным явлением понимается система дифференциальных уравнений с наложенными на нее условиями однозначности (начальными и граничными условиями) - течение жидкости в канале заданной геометрической формы.

Под группой явлений понимается система дифференциальных уравнений с наложенными на нее подобными условиями однозначности. Группу явлений, например, образуют задачи течения жидкости в геометрически подобных каналах.

Основная идея теории подобия состоит в выделении внутри класса явлений более узких групп.

Подобными явлениями называют такие, у которых отношение характеризующих их переменных есть постоянное число.

Различают следующие виды подобия:

1. Для того, чтобы модель была механически подобна (объекту, для которого создается модель), прежде всего, должно соблюдаться геометрическое подобие. Для этого отношение длин сходственных отрезков образца и модели должны быть одинаковыми, т.е.

,

(16.3)

где - некоторый линейный размер потока модели;

- соответствующий линейный размер потока в образце;

- константа геометрического подобия.

Из последней формулы следуют соотношения

,

(16.4)

где - соответствующие площади модели и образца;

- соответствующие объемы модели и образца.

2. При построении модели, кроме геометрического подобия, необходимо соблюдать еще динамическое подобие, которое означает, что все силы, вызывающие движение в модели, должны быть изменены с аналогичными силами в образце в одно и тоже число раз.

Сила определяется по закону Ньютона

.

(16.5)

Это определяет ее размерность через плотность жидкости, геометрический размер и скорость (кинематический параметр)

.

(16.6)

Отсюда следует, что для динамического подобия необходимо соблюдение следующего соотношения

,

(16.7)

здесь - константа динамического подобия, определяемая через константы подобия плотности жидкости, константу геометрического подобия и константу подобия скорости. Условие (…) является математическим выражением общего закона динамического подобия, сформулированного Ньютоном.

В теории подобия доказывается, что при выполнении геометрического и динамического подобий будет соблюдаться и кинематическое подобие. Следовательно, скорости, ускорения, перемещения частиц в модели будут изменяться в одних и тех же отношениях по сравнению с образцами. В двух подобных явлениях должны существовать соотношения типа

и т. д.,

(16.8)

где константы подобия сохраняют постоянные значения в сходственных точках подобных систем.

Подобных явлений бывает не два, а бесконечное множество. Эти явления составляют группу подобных явлений.