Формулы дифференцирования

1

2

3 ,

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Геометрическая интерпретация производной впервые была дана в конце 17 века Лейбницем.

Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке x т.е. .

Уравнение касательной: . (2)

Уравнение нормали: . (3)

Механическое истолкование производной было дано Ньютоном.

Механический смысл производной: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. .

Производную от данной функции часто называют первой производной.

Производной второго порядка называют производную от первой производной. Её обозначение: .

Механический смысл производной второго порядка: .

В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путём измерений, и точное их значение неизвестно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях используют приближённые методы. Теоретической основой одного из простейших приёмов приближённых вычислений является понятие дифференциала.

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком , т.е. .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y=f(x) геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке с координатами (x,y) при данных значениях х и Δх.

Для приближённых вычислений величин используют формулу f(x₀+∆x)≈f(x₀)+f’(x₀) ∆x.

С помощью производной, учитывая её механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной) возможно подробное исследование функций и построение их графиков.

При построении графиков функций с помощью производной пользуются планом:

1 Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.

2 Выяснить является ли функция четной или нечетной, проверить ее на периодичность.

3 Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4 Найти критические точки функции I рода. (Критические точки I рода – это точки, в которых производная равна нулю или не существует).

5 Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.