Решение прикладных задач с помощью производных

Задача №1.

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = x³ в точке С (-2;-8).

Решение.

Найдем производную функции y = x³ в точке х = -2. Тогда у` = 3х<sup>2</sup>, у`(-2) = 3∙(-2)² = 12.

Задача №2.

Кривая задана уравнением у = х² +5х. Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси ОХ, проведенных к кривой в точке с абсциссой х = -2.

Решение.

Найдем производную, обозначив угол наклона касательной в точке с абсциссой х = -2 через α, получим tg α = y´_x=-2 = 2(-2)+5 = 1, α = arctg 1 = π/4 = 45⁰.

Задача №3.

В какой точке касательная к кривой y = x²-1 параллельна оси ОХ.

Решение.

Так как прямая параллельна оси ОХ, то она образует с ней угол 0⁰ и её угловой коэффициент, равный тангенсу этого угла, равен нулю.

Задача №4.

Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 3t³ - 4t + 2. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение.

Если известен закон движения как функция времени, то скорость и ускорение – это соответственно первая и вторая производные по времени, то есть

υ = s’(t) = 9t² - 4, тогда υ _t=3 = s’(3 )= 9∙3² – 4 = 77 .

а = s’’(t) = 18t, a _t=3 = s’’(3) = 18∙3= 54 .

Ответ: 77 и 54 .

Задача №5.

Исследуйте функцию на экстремум.

Решение.

Найдем производную, приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

y’=12x² + 24

12х² + 24х = 0

12х(х + 2) = 0

х = 0 или х = -2.

Воспользуемся достаточными признаками экстремума и проверим меняет ли знак первая производная при переходе через критические точки от меньших значений к большим. Здесь первая производная существует при любых значениях x.

Оценим знаки производной при x = 3, x = -1, x = 1

Итак, при переходе слева направо через критическую точку x = -2производная меняет знак с “+” на “–“, то есть функция слева возрастает, а справа убывает. Значит, x = -2 – точка максимума функции. Найдем ее ординату в этой точке:

При переходе слева направо через критическую точку x=0 производная меняет знак с “+” на “-”, следовательно, слева убывает справа возрастает, то есть для нее x = 0 – точка минимума, причем .

Ответ: Экстремумы данной функции: , .

Задача №6.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x² - x³ на отрезке [-1;3].

Решение.

Исследуем функцию на экстремум. Если точки экстремума принадлежат данному отрезку, то вычисляем значения функции в точках экстремума и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее

y’=2x - 3x²;

2x - 3x² = 0; x(2 - 3x) = 0.

х₁ = 0; x₂ = – критические точки, причем обе принадлежат отрезку [-1;3].

Вычислим значения функции:

f(0) = 0, f(-1) = 2, f(3) = -18, f(2/3) = 19/27

Ответ: f_наиб.=2, f_наим.= -18.

Задача №7.

Найдите точки перегиба графика функции

.

Решение.

Для нахождения точек перегиба надо найти вторую производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения – это критические точки второго рода или точки возможного перегиба. Найдем первую производную:

Теперь найдем вторую производную:

Приравнивая вторую производную к нулю, получим уравнение:

3 - 3x² = 0

1 - x² = 0

откуда x_1,2 = ±1 – критические точки второго рода

Проверим, действительно ли точки x = ±1 являются точками перегиба.

Поскольку для данной функции:

,

то функция четная, значит, если x = 1 – точка перегиба, то x = -1 – тоже точка перегиба. Проверим, меняет ли знак вторая производная при переходе через точку x = 1. Возьмем, например, x = 0 (-1<0<1) и подставим во вторую производную.

Получим .

Возьмем теперь x = 2, (2>1), тогда

,

(вычислять не обязательно, достаточно правильно оценить знак).

Поскольку вторая производная меняет знак при переходе через точку x =1, то эта точка есть точка перегиба, но тогда и точка x = -1 – тоже точка перегиба.

Ордината обеих точек перегиба будет

,

поскольку точки перегиба лежат на самой кривой.

Итак, точки N₁(-1;1,5), N₂(1;1,5) – точки перегиба графика данной функции

Ответ: N₁(-1;1,5), N₂(1;1,5) – точки перегиба.

Задача №8.

Постройте график функции

.

Решение.

Эскизное построение графика можно выполнить по общепринятой в анализе схеме.

1 Найдем область определения функции: x ε(-∞,0) U (0, ∞); x = 0 – точка бесконечного разрыва, а прямая x = 0 – вертикальная асимптота кривой.

2 Исследуем функцию на четность (нечетность). Вместо x положим –x

Получим:

,

Это признак нечетности функции. Следовательно, ее график центрально симметричен относительно начала координат. Поэтому его можно построить для положительных x и симметрично относительно начала координат перенести для отрицательных x.

3 Найдем точки пересечения графика с осями координат, так называемые “нули” функции. Здесь x ≠ 0 , т.к. x = 0 не входит в область определения, значит, с осью O y график не пересекается. Пусть y = 0, тогда .

Это равенство невозможно, так как при любых значения x. Значит, с осью O y график тоже не пересекается.

4 Найдем точки экстремума и нанесем их на график.

Исследуем характер экстремума в точке

Оценим знаки производной при x=1 и x=2:

, таким образом - абсцисса точки минимума.

Найдем ординату минимума

Итак, – точка минимума.

Но тогда, в силу центральной симметрии, точка - точка максимума.

5 Интервалы монотонности функции

функция возрастает, если ;

функция убывает, если .

6 Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции ни при каких значениях x вторая производная не обращается в нуль, а в точке разрыва x=0 функция не определена. Следовательно, график не имеет точек перегиба.

Поскольку при x>0 y’’>0 , то для x ε(0;∞) кривая вогнутая, а для x ε(-∞;0) (в силу симметрии) – выпуклая.

7.По итогам исследования строим график заданной функции. (Рисунок 1).

Рисунок 1– График функции y =