Примеры записи нечеткого множества

Пусть E= {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M= [0,1]; A – нечеткое множество, для которого m_A(x₁)=0,3; m_A(x₂)=0; m_A(x₃)=1; m_A(x₄)=0,5; m_A(x₅)=0,9. Тогда множество A можно представить в виде:
A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄; 0,9/x₅}или

A=0,3/x₁ È 0/x₂ È 1/x₃ È 0,5/x₄ È 0,9/x₅ или

Для построения функции принадлежности могут использоваться прямыеметоды, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m_A(x), либо определяет функцию совместимости. При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: “этот человек лысый” или “этот человек не лысый”, тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_"лысый" (данного лица). Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m_A(x_i) = w_i, i = 1, 2, ..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w_i/ w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1/a_ji. Доказано, что в общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = l_maxw, где l_max – наибольшее собственное значение матрицы A. Имеет место теорема Перрона, согласно которой для матрицы А с положительными элементами решение данной задачи существует и является положительным.

В случае идеальной согласованности экспертных оценок должно выполняться соотношение . (1)

В этом случае l_max совпадает с n – размерностью матрицы А. В случае нарушения условия (1) l_max меньше n. Таким образом, величина разности l_max – n может служить мерой согласованности экспертных оценок.

Выполнить операции с нечёткими множествами означает построить функции принадлежности множеств, получившихся в результате. Эти функции определяются с помощью функций принадлежности исходных множеств.

1. Дополнение.

2. Пересечение.

A Ç B – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B;

m_{A Ç B}(x) = min{m_A(x), m_B(x)}.

3. Объединение.

А È В – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m_{AÈ B}(x) = max {(m_A(x), m_B(x)}.

4. Разность.

А \B= А Ç с функцией принадлежности:

m_A\B(x) = min { m_A(x), 1 – m_B(x)}.