ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Множеством называется совокупность некоторых объектов, объединенных общим признаком.

Для множеств вводятся следующие отношения.

Множество А нестрого включено в множество В (обозначается АÍВ) если для любого элемента хÎА, следует что хÎB. Нестрогое включение не исключает совпадения множеств.

Множество А строго включено в множество В (обозначается АÌВ) если:

1) АÍВ;

2) существует yÎB, такой, что yÏA.

Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А, т.е.

(АÍВ и ВÍА) Û (А = В).

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому детально разберёмся в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство нестрогого включения АÍВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

(" x Î А) Þ (x Î В).

2. Доказательство строгого включения АÌВ состоит из двух частей:

1) АÍВ;

2) $ y: y Î B и y Ï A.

3. Доказательство равенства А = В сводится к доказательству двух включений А Í В и В Í А.

Дадим определения операций над множествами, используя способ задания множества характеристическим свойством или формулой теории множеств.

1. Дополнение : .

2. Пересечение : .

3. Объединение : .

4. Разность : .

5. Симметрическая разность : .

В доказательствах будем также использовать следующие краткие обозначения, для того чтобы расписать принадлежность элемента множеству, построенному с помощью операций над множествами.

Û Û

Фигурная скобка и запятая здесь, как и прежде, обозначает выполнение обоих свойств.

Û

Квадратная скобка означает выполнение хотя бы одного из свойств. Таким образом, доказательство в дальнейшем распадается на два случая, для которых рассуждения проводятся отдельно, каждое в своей строке.

Û

Û

Распишем также, что означает, что элемент не принадлежит множеству, построенному с помощью операций над множествами.

Û Û

Û Û

Если из условия следует свойство о принадлежности элемента одному множества (например ) и ничего не известно относительно другого (B), которое участвует в формуле доказываемого утверждения, то необходимо рассмотреть оба случая и в обоих случаях вывести (или опровергнуть) требуемое свойство.

Утверждение вида эквивалентно включениям или .