Технология выполнения работы.

Рассмотрим различные типы вариантов заданий.

1. Разгадка числовых ребусов.

В числовых ребусах зашифровывают некоторое арифметическое действие, буквами обозначают цифры. Разным цифрам соответствуют разные буквы. Требуется разгадать, какая цифра скрывается за каждой буквой. Это возможно, если воспользоваться программой генерации размещений без повторений.

Пример.ТОРГ ´Г = ГРОТ. Имеем 4 различных цифры: Т, О, Р, Г. Следовательно, необходимо сгенерировать 4-размещения из 10 (всего 10 цифр), т.е. массив а[1], … , а[4], удовлетворяющий следующим условиям:

1) а[1] ¹ 0, а[4] ¹ 0 – т.к. число не может начинаться с 0.

2) а[1]×1000 + а[2]×100 + а[3]×10 + а[4] = а[4]×1000 + а[3]∙100 + а[2]∙10 + а[1] – это запись зашифрованного действия.

В процессе генерации каждую полученную комбинацию проверяют на выполнение перечисленных условий и отбирают подходящие. В общем случае решений может быть несколько. В данном примере ТОРГ = 1089 (1089×9 = 9801).

2. Генерация m-последовательностей 0 и 1.

Для решения можно использовать алгоритм генерации размещений с повторениями, где x_i = 0 и y_i = 1.

Однако если в условии задано ограничение на количество 0 или 1, то при таком подходе заведомо будут генерироваться лишние последовательности. В этом случае лучше использовать алгоритм генерации сочетаний без повторений для номеров мест, на которые будут расставляться 0 или 1. При получении каждой сгенерированной комбинации номеров мест для 1 (0) в массиве С, нужно обнулить (заполнить 1) массив А требуемых m-последовательностей, а затем расставить в нём на места из массива С единицы (нули).

3. Вычисление кратного интеграла.

Для приближенного вычисления кратного интеграла использовать формулу левых, средних или правых прямоугольников

,

где , k – кратность интеграла, h – шаг разбиения (вводится с клавиатуры), а для формулы левых прямоугольников, для формулы средних прямоугольников и для формулы правых прямоугольников. Для решения используется алгоритм генерации размещений с повторениями для номеров интервалов по каждой переменной.

4. Раскрытие полиномиальной формулы.

Для раскрытия полиномиальной формулы используется алгоритм генерации размещений с повторениями для получения степеней разложения, в котором для каждой сгенерированной комбинации проверяется условие . На экран монитора выводится формула разложения полинома с использованием знака ^ для операции возведения в степень.

5. Использование принципа включений и исключений.

Для вычисления по формуле включений и исключений генерируются сочетания без повторений для номеров проверяемых свойств. Для каждого числа свойств генерируются различные сочетания, а для каждой сгенерированной комбинации вычисляется (или извлекается) и суммируется количество элементов, удовлетворяющих соответствующему свойству или набору свойств, затем вычисление суммы добавляются в формулу включений и исключений с нужным знаком.

6. Решение задачи коммивояжера.

Используется алгоритм генерации перестановок без повторений, в котором для каждой комбинации вычисляется суммарное расстояние, пройденное коммивояжером, и определяется минимальное из этих расстояний.

7. Генерация числовых комбинаций.

Для генерации используется алгоритм генерации размещений с повторениями или без повторений (в зависимости от условия варианта). Каждая сгенерированная комбинация должна проверяться на выполнение условия и выводиться при выполнении условия.

Если требуется исключить заданные p цифр из набора, то нужно определить константный массив из 10 – p элементов, не включающий эти цифры, и генерировать номера элементов в этом массиве, а выводить сами цифры.

Если требуется включить заданные p цифр в число выводимых для чисел, не содержащих одинаковых цифр, то нужно записать эти цифры в результирующий массив сочетаний на первые p мест, определить константный массив из 10 – p элементов, не включающий эти цифры. Затем сгенерировать номера для k - p элементов в этом массиве, записать цифры с этими номерами в массив сочетаний на места с p+1-го по k-е. Наличие заданных цифр в числе с повторяющимися цифрами проверяется непосредственно по сгенерированному массиву.

8. Генерация различных слов из заданного набора букв.

Для генерации используется алгоритм генерации размещений с повторениями или без повторений (в зависимости от условия варианта). Каждая сгенерированная комбинация должна проверяться на выполнение условия и выводиться при выполнении условия.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения размещений, перестановок и сочетаний с повторениями и без повторений элементов.

2. Приведите формулы для вычисления соответствующих комбинаторных чисел.

3. Объясните порядок генерации комбинаций в каждом из алгоритмов.