Распределения случайных величин

Уравнение кривой нормального распределения (закон Гаусса) имеет вид

, (7)

где σ – среднее квадратическое отклонение, определяемое по формуле

, (8)

где ∆_{П (i)_} – текущее значение погрешности позиционирования;

∆_{П (ср)} – среднее взвешенное арифметическое значение этой погрешности, которое, в свою очередь, можно определить по формуле

(9)

где m_i – частота попадания значений ∆_П в каждый интервал, на которые разбиты оси эллипса рассеяния;

N – количество рабочих циклов позиционирования, когда производилось определение погрешности позиционирования;

m_i/N – частость достижения случайной величиной значений, попадающих в данный интервал;

k – количество интервалов (следует выбрать k = 7…8).

Пример расчета ∆_{П (ср)} (рис. 8):

∆_{П (ср)} = 1/100 (0,01 x 5 + 0,03 x 8 + 0,05 x 19 + 0,07 x 28 + 0,09 x 22 + 0,11 х x 13 + + 0,13 x 5) = 1/100 (0,05+0,24+0,95+1,96+1,98+1,43+0,65) = 1/100 х 7,26 = = 0,0726 ≈ 0,073 мм .

Как известно, координата центра группирования совпадает со значением среднего взвешенного арифметического случайной величины, в данном случае – погрешности ∆_П, и является математическим ожиданием величины этой погрешности.

Если теоретическая кривая нормального распределения имеет симметричный вид (рис. 9 а), то практически под влиянием различных причин систематического и случайного характера вершина кривой распределения может быть смещена относительно середины эллипса рассеяния.

Одной из причин может служить влияние жестких упоров, по которым осуществляется позиционирование руки робота (рис. 9 б). Кривая может носить также усеченный вид.

Для построения теоретической кривой нормального распределения рассчитывают координаты опорных точек:

(10)

Рис. 8. Пример построения гистограммы и полигона практического

распределения погрешности позиционирования (N =100 циклов)

Ординаты точек перегиба с абсциссами, равными σ:

. (11)

Или приближенно: Y _A = Y _B ≈ 0,6 Y_MAX ≈ 0,24/ σ. (12)

Рис. 9. Теоретическая кривая: а – нормального закона распределения;

б – усеченного нормального закона

Этих значений достаточно для построения теоретической кривой нормального распределения, которую необходимо совместить с уже построенным полигоном практического распределения ∆_П. Следует учесть, что ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс на расстоянии

3σ от положения ее вершины. При этом 99,73% значений исследуемой погрешности попадает в этот интервал, равный 6σ.

Следует провести проверку сходимости практического и теоретическо­го распределений погрешности позиционирования. Для этого используют, например, критерий согласия Пирсона (Х-квадрат). Все поле изменения погрешности ∆ n разбивают на К интервалов (рекомендуемое К = 7 – 8).

Определяют опытное значение критерия X² :

, (13)

где К – количество интервалов или сравниваемых частот;

m_К – практическое значение частоты, т.е. количества значений ∆_П в данном интервале ( оно определяется с использованием гистограммы);

f – теоретическая частота, определяемая как количество значе­ний ∆_П , снятое с кривой нормального распределения.

Затем вычисляют число степеней свободы по формуле

n = k – p – 1, (14)

где р – число параметров распределения (р = 2). По таблице находят критическое значение x²_кр. Если соблюдается соотношение Х²_оп < x²_кр, то практическое распределение ∆_П соответствует нормальному закону с определенной степенью вероятности. Необходимым условием применения критерия X² является наличие 5 – 10 значений погрешности в каждом интервале.

Табл. 3. Значения критерия Пирсона

Далее надо сделать обобщения о величине погрешности позиционирования c учетом ее характеристик как случайной величины, а также сопоставить полученные значения с паспортными данными промышленного робота.

Для этого в том же масштабе на гистограмму нанести (рис. 8) значение погрешности позиционирования робота данной модели (табл. 1). Устанавливают процент показаний, выходящих за указанные границы, и делают заключение о реальной точности робота.

Далее следует сделать выводы о влия­нии погрешности ∆_П (∆_ПП) на безотказность выполнения технологических операций, требующих различной точности робота, и уточнить порядок выбора нужной модели промышленного робота.