Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Площадь основания конуса равна 16p см², образующая – 5 см. Найдите высоту конуса.

1.2. Высота усеченного конуса 8 см, радиус нижнего основания на 6 см больше радиуса верхнего основания. Найдите длину образующей усеченного конуса.

1.3. Крыша флигеля имеет коническую форму. Диаметр башни 12 м, высота крыши 8 м. Найдите площадь поверхности крыши.

1.4. Определите, как изменится площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания уменьшить в два раза, а образующую увеличить в три раза.

1.5. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 30°. Определите, какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 25120 м³. (Число p принять равным 3,14.)

1.6. Найдите объем конуса, высота которого 3см, а осевое сечение – равносторонний треугольник.

1.7. В усеченном конусе через середину высоты, длина которой 5 см, проведено сечение параллельное основаниям конуса. Найдите его площадь, если площадь осевого сечения усеченного конуса равна 30 см².

1.8. Высота усеченного конуса равна 6см, радиусы оснований – 10 см и 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1.9. Определите, сколько квадратных дециметров материала потребуется на изготовление ведра, если его размеры таковы: диаметр дна 20 см, высота 24 см, диаметр верхней части в два раза больше диаметра дна.

1.10. В усеченном конусе проведено осевое сечение, средняя линия которого равна 11 см. Высота усеченного конуса 8 см, а радиус одного из оснований больше другого на 3 см. Найдите объем усеченного конуса.

II уровень

2.1. Найдите высоту конуса, если площадь осевого сечения равна 13 см², а площадь основания – 14 см².

2.2. В конусе, радиус основания которого 5 см, проведено сечение параллельное основанию на расстоянии 4 см от него. Площадь сечения 4p см². Найдите образующие конуса и усеченного конуса.

2.3. Угол развертки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса равна 15 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2.4. Образующая конуса равна 25 см, а середина его высоты отстоит от образующей на 6см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2.5. Площадь основания в два раза меньше площади боковой поверхности конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

2.6. Для изготовления указки конической формы был взят брусок квадратного сечения размером 20 мм ´ 20 мм и длиной 500 мм. У полученной указки диаметр основания 18 мм и длина 500 мм. Найдите, какой процент материала пошел в отход.

2.7. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если высота равна 12 см, образующая – 13 см, а диагональ осевого сечения – 20 см.

2.8. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 96p см и 66p см, а его высота – 20 см. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.

2.9. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если его образующая равна 17см, а площадь сечения, проходящего через середину высоты параллельно основаниям, равна 196pсм².

2.10. Объем усеченного конуса равен 2580p дм³, его высота равна 15 дм и составляет высоты полного конуса. Найдите радиусы оснований усеченного конуса.

III уровень

3.1. Радиус основания конуса равен R, образующая наклонена к плоскости основания под углом a. В конусе через вершину под углом j к его высоте проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3.2. Площади оснований усеченного конуса равны 81p см² и 225p см², образующая относится к высоте как 5 : 4. Найдите площадь осевого сечения.

3.3. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Площадь осевого сечения равна 324 см². Найдите площади оснований конуса, зная, что радиус одного основания на 2 см больше другого.

3.4. Дана трапеция ABCD, у которой AD = 15 см, BC = 9 см, AB = CD = 5 см. Трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину A и перпендикулярно AD. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

3.5. Прямая отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми 60°, отрезки, длины которых составляют четвертую часть длины гипотенузы, считая от вершины этого угла. Найдите отношение площади треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой.

3.6. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h, образующая – b. Найдите площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

3.7. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного из конусов перпендикулярна противолежащей образующей другого. Объем одного из них вдвое меньше объема другого. Найдите угол между образующей большего конуса и плоскостью оснований конусов.

3.8. Треугольник АВС, у которого АВ = 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, вращается вокруг оси, которая проходит через вершину А перпендикулярно АС. Найдите объем полученного тела вращения.

3.9. Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей диагонали. Найдите объем тела вращения, если стороны параллелограмма и его большая диагональ равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.

3.10. Образующая усеченного конуса, равная l, наклонена к плоскости основания под углом a. Отношение площадей оснований конуса равно 4. Найдите объем усеченного конуса.

Шар

Шар и сфера

Сферой называется множество всех точек пространства равноудаленных от данной точки.

Данная точка называется центром сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы. Хордой называется отрезок соединяющий две точки сферы. Диаметром называется хорда, проходящая через центр сферы (рис. 40).

Шаром называется геометрическое тело, ограниченное сферой. Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются соответственно центром, радиусом, хордой и диаметром шара (рис.40).

Шар можно рассматривать, как тело, полученное при вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга.

Сферой также называется поверхность шара.

Рис. 40

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к сфере (шару). Общая точка называется точкой касания сферы (шара) и плоскости.

Теорема. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере (шару) необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы (шара), проведенному в точку касания.

Для шара верны формулы:

где R – радиус шара;

S – площадь поверхности шара (площадь сферы);

V – объем шара.