Шаровой слой и сферический пояс

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом.

Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.

Рис. 42

Для шарового слоя верны формулы:

где R – радиус шара;

R₁, R₂ – радиусы оснований;

h – высота;

S₁, S₂ – площади оснований;

S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса);

S_полн – площадь полной поверхности;

V – объем шарового слоя.

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше ) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором. Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).

Рис. 43а. Рис. 43б.

Для шарового сектора верны формулы:

где R – радиус шара;

r – радиус основания сегмента;

h - высота шарового сегмента;

S – площадь поверхности шарового сектора;

V – объем шарового сектора.

Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 44).

Для того, чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:

Тогда площадь

Ответ:

Пример 2.Шар пересечен двумя параллельными плоскостями, проходящими перпендикулярно диаметру и по разные стороны от центра шара. Площади сферических сегментов равны 42p см² и 70p см². Найти радиус шара, если расстояние между плоскостями 6 см.

Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: где R – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: и Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен Решив систему, найдем радиус шара.

Û Þ Û

По условию задачи подходит значение

Ответ: 7 см.

Пример 3.Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1:2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 45).

Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE=R – радиус шара, BE – радиус сечения перпендикулярного диаметру шара,

Выразим BE через R:

Из DOBE выразим BE через R:

Площадь сечения площадь поверхности шара Получаем отношение . Значит, S₁ меньше S₂ в 4,5 раза.

Ответ: в 4,5 раза.

Пример 4.В шаре, радиус которого 13 см, проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 см и 12 см от центра. Найти длину их общей хорды.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 46).

Сечения перпендикулярны, т.к. OO₂ – расстояние и OO₁ – расстояние. Таким образом, и , OC – диагональ прямоугольника OO₂CO₁ и равна

DO₁AB – равнобедренный (O₁A=O₁B – радиусы), тогда перпендикуляр O₁C – является и медианой AC=CB.

Рассмотрим DOAC: OA – радиус шара, (OC^AC по теореме о трех перпендикулярах). Находим Общая хорда сечений

Ответ: 6 см.

Пример 5. Площадь осевого сечения шарового сектора в три раза меньше площади большого круга шара. Найти отношение объемов сектора и шара.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 47).

Рассмотрим осевое сечение шара. Осевое сечение шарового сектора – это круговой сектор, площадь которого составляет часть площади круга. Значит, центральный угол равен 120°, следовательно Шаровой сектор можно рассматривать как тело, полученное при вращении сектора АОВ вокруг бокового радиуса ОВ. Высотой данного сектора служит отрезок СВ. Объем сектора вычисляется по формуле объем шара –

Из DАОС ( ОА -- радиус) Значит Следовательно Сравнивая объемы сектора и шара, получаем, что V_c:V_ш=1:4.

Ответ: 1:4.