Многогранники и тела вращения

Цилиндр называется описанным около призмы, если окружности оснований цилиндра описаны около оснований призмы, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра. Призма соответственно называется вписанной в цилиндр.

Теорема. Для того чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.

Цилиндр называется вписанным в призму, если окружности его оснований вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается боковых граней призмы.

Теорема. Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и в ее основание можно было вписать окружность.

Конус называется описанным около пирамиды, если окружность основания конуса описана около основания пирамиды, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса. Пирамида соответственно называется вписанной в конус.

Теорема. Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.

Конус называется вписанным в пирамиду, если окружность его основания вписана в основание пирамиды, а боковая поверхность касается боковых граней пирамиды. Пирамида соответственно называется описанной около конуса.

Теорема. Для того чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а вершина пирамиды ортогонально проектировалась в центр этой окружности.

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. В правильную четырехугольную пирамиду с объемом вписан конус. Найдите его объем.

1.2. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписана пирамида. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите объем пирамиды, если

1.3. Около цилиндра описана правильная четырехугольная призма, периметр основания которого равен 12 см, а площадь боковой поверхности равна 48 см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1.4. В равносторонний цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна вписана правильная шестиугольная призма. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

1.5. Усеченный конус описан около правильной треугольной усеченной пирамиды. Радиус верхнего основания в 2 раза меньше радиуса нижнего основания конуса, высота равна 4 см, а образующая 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

1.6. В куб вписан шар и около куба описан шар. Найдите отношение объемов этих шаров.

1.7. В сферу вписан цилиндр. Площадь основания цилиндра 16p см², тангенс угла наклона диагонали его осевого сечения к плоскости основания равен 3. Найдите площадь сферы.

1.8. В конус, площадь боковой поверхности которого в 2 раза больше площади основания, вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 8 см.

1.9. В цилиндрическую мензурку, диаметр которой 2,5 см, заполненную водой до некоторого уровня, опускают четыре равных металлических шариков диаметром в 1 см. Определите, на сколько изменится уровень воды в мензурке.

1.10. Основание шарового слоя и цилиндра совпадают. Объем тела, заключенного между их боковыми поверхностями, равен 36p см³. Найдите высоту шарового слоя.

II уровень

2.1. Равносторонний треугольник, сторона которого равна а, вращается вокруг внешней оси, параллельной его высоте и удаленной от нее на Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

2.2. Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную пирамиду, основание которой – ромб со стороной а и углом a. Площадь боковой поверхности пирамиды равна S, боковые грани наклонены к основанию пирамиды под углом b. Найдите объем усеченного конуса.

2.3. В правильной треугольной призме боковое ребро равно стороне основания. Около призмы описан шар, а около шара описан конус. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол a. Найдите объем призмы.

2.4. В пирамиде, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания, через центр вписанного шара проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Отношение площади сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно k. Найдите угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

2.5. В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием. Вершины конусов совпадают с противоположными концами диаметра шара. Шаровой сегмент, вмещающий меньший конус, имеет в осевом сечении дугу a. Найдите расстояние между центрами шаров, вписанный в эти конусы.

2.6. Шар касается всех боковых ребер правильной четырехугольной призмы и ее оснований. Найдите отношение площади поверхности шара, лежащей вне призмы, к площади полной поверхности призмы.

2.7. В правильную четырехугольную пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из его образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность основания касается двух сменных боковых граней пирамиды. Найдите радиус основания цилиндра, если боковое ребро пирамиды равно b, а угол его наклона к плоскости основания равен a.

2.8. Ребро тетраэдра равно 8 см. Цилиндрическая поверхность проходит через одно из его ребер и через все его вершины. Найдите радиус основания цилиндра.

2.9. Ребра треугольной пирамиды, выходящие из вершины S, попарно перпендикулярны и равны a, b и c. Найдите объем куба, вписанного в пирамиду так, что одна из его вершин совпадает с вершиной S пирамиды.

2.10. В усеченный конус вписан шар, объем которого составляет объема конуса. Найдите угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса.

Ответы к задачам

Раздел 11.1

I уровень

1.6. 30º. 1.7. 14. 1.8.

II уровень

2.3. 2.4. 2.5. 10 см. 2.6.

2.7. 74. 2.8. 5 см. 2.9. 1 см 2.10.

III уровень

3.1. 3.2. 3.3.

3.4. 3.5.

Раздел 12.2.

I уровень

1.1. см. 1.2. 35200 м³. 1.3. см².

1.4. см; см. 1.5. 288 см³. 6. 108 см³.

1.7. см². 1.8. 495 кг.

1.9. дм². 1.10. 125 см³.

II уровень

2.1. см². 2.2. см². 2.3. 75 см³.

2.4. 45°. 2.5. 788 см². 2.6. см³.

2.17. 4дм; 4 дм; дм. 2.18. см³. 2.19. 30 см³.

2.10. 216 мм³.

III уровень

3.1. см². 3.2. 72 см². 3.3. 928 см². 3.4. 36 см³.

3.5. 21 см. 3.6. 3.7. 216 см².

3.8. 5:7. 3.9.

Раздел 11.3

I уровень

1.1. 3. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6. 3.

1.7. 5. 1.8. 728. 1.9. 2. 1.10. 798.

II уровень

2.1. 13. 2.2. 4. 2.3.

2.4. 2.5. »2,6 млн м³. 2.6.

2.7. 770. 2.8. 2.9. 1,46 м³. 2.10.

III уровень

3.1. 3.2. 60º. 3.3.

3.4. 3.5.

3.6. 3.7. 48;

3.8. 240. 3.9. 1,9. 3.10.

Раздел 11.4

I уровень

1.1. 10. 1.2. 16p. 1.3. pS. 1.4. 60p.

1.5. 36p. 1.6. 1.8.

1.9. увеличится в 2,5 раза. 1.10. 1 : 3.

II уровень

2.1. 12. 2.2. 2.3. 2.4.

2.5. 2.6. 0,25. 2.7. 2.8. 0,17 м.

III уровень

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

Раздел 11.5

I уровень

1.1. 3 см. 1.2. 10 см. 1.3. 60p м².

1.4. Увеличится в 1,5 раза. 1.5. 20 м². 1.6. 3p см³.

1.7. 9p см². 1.8. 224p см². 1.9. 8,8p дм². 1.10. 248p см

II уровень

2.1. см. 2.2. см, см. 2.3. 100p см².

2.4. 375p см² или 500p см². 2.5. 60°.

2.6. 79%. 2.7. 5,5 см; 10,5 см. 2.8. 5418p см².

2.9. 476p см². 2.10. 10 дм; 16 дм.

III уровень

3.1. . 3.2. 192 см².

23.3. 64p см²; 100p см². 23.4. 510p см². 23.5. .

3.6. 3.7. arctg 3.8. 2184p см³.

3.9. 23232p см³. 3.10.

Раздел 11.6

I уровень

1.1. 15 см. 1.2. см. 1.3. 5 см или 45 см.

1.4. 180p см² или 720p см². 1.5. 12p см².

1.6. В »50 раз. 1.7. 9 см; 7 см. 1.8.

1.9. В 4 раза.

II уровень

2.1. 2 см. 2.2. см. 2.3. 65 см. 2.4. 36p см².

2.5. 180p см². 2.6. 28p см². 2.7. 300p см².

2.8. см²; см².

2.9. 2.10.

III уровень

3.1. 306p. 3.2. м. 3.3.

3.4. 3.5.

Раздел 11.7

I уровень

1.1. 72. 1.2. 10 см³. 1.3. 16,5p см². 1.4. 588.

1.5. 1.6. 1.7. 640p.

1.8. 1.9. 1.10. 6.

II уровень

2.1. 9pа². 2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10. 60º.