Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова.
2.2.3.1. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала описывается выражением (2.8):
.
Найдем связь между спектром дискретизированного сигнала и спектром исходного сигнала до его дискретизации .
Для этого учтем выражение для обратного преобразования Фурье . Соответственно, для дискретных значений сигнала можно записать следующую связь со спектром исходного непрерывного сигнала :
.
Подставим это соотношение в выражение для спектра дискретизированного сигнала:
.
Учтем, что
.
Воспользуемся фильтрующим свойством дельта-функции, в соответствии с которым:
.
Таким образом, можно записать следующее выражение, которое характеризует связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного непрерывного сигнала:
. (3.1)
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой периодическую последовательность на оси частот с периодом спектров исходного непрерывного сигнала.
2.2.3.2. Восстановление исходного непрерывного сигнала. Теорема Котельникова.
Если исходный непрерывный сигнал ограничен верхней граничной частотой
,
то отдельные копии спектра не накладываются друг на друга в спектре дискретизированного сигнала.
Рисунок 3.1 – восстановление исходного непрерывного сигнала
В этом случае аналоговый сигнал , подвергшийся дискретизации, в соответствии с теоремой Котельникова может быть полностью восстановлен с помощью идеального ФНЧ, имеющего прямоугольную АЧХ:
Импульсная характеристика такого фильтра является обратным преобразованием Фурье от частотной характеристики:
.
В этом случае в соответствии с интегралом Дюамеля можно восстановить исходный ограниченный по спектру сигнал в базисе Котельникова с точностью до постоянного множителя:
. (3.2)
Точная формулировка теоремы Котельникова имеет следующий вид: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше , может быть полностью восстановлен, если известны дискретные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени .
2.2.4. Z – преобразование дискретных сигналов
2.2.4.1. Определение z – преобразования
При математическом описании дискретных сигналов в выражении для спектра важную роль играет функция , которая при преобразованиях возводится в целую степень . Однако эта функция является трансцендентной функцией частоты , что существенно усложняет спектральный анализ. Для упрощения анализа вводят новую переменную , которая связана с частотой выражением:
.
При такой замене спектр дискретизированного сигнала преобразуется в рациональную функцию переменной :
, (4.1)
где - оригинал - преобразования;
- - изображение функции .
Полученное выражение называется прямым двухсторонним - преобразованием (одностороннее преобразование суммируется от 0 и совпадает с двухсторонним только для последовательностей, равных нулю для отрицательных значений аргумента ).
- преобразование дискретных сигналов является аналогом преобразования Лапласа для непрерывных сигналов. Вводится для:
- полезно иметь дискретный аналог преобразования Лапласа, справедливый для более широкого класса сигналов;
- при аналитических исследованиях и расчетах пользоваться - преобразованием более удобно.
Пример z – преобразования
Пусть необходимо получить z – изображение дискретного единичного скачка:
В результате применения z – преобразования к дискретному единичному скачку можно получить:
.
Таким образом, полученное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:
при .
Соответственно, z – изображение дискретного единичного скачка имеет вид:
.
2.2.4.2. Свойства z – преобразования
1. Линейность:
имеет z-преобразование .
2. Задержка:
Последовательность имеет Z-преобразование .
3. Обращение во времени:
Последовательность имеет z-преобразование .
4. Масштабирование:
Последовательность имеет z-преобразование .
5. Свертка:
Последовательность , характеризующая связь выходного сигнала через входной через импульсную характеристику дискретного фильтра , имеет Z-преобразование:
.
2.2.4.3. Обратное z – преобразование
Отыскание оригинала по заданному изображению производится с помощью обратного z – преобразования:
. (4.2)
Непосредственное вычисление интеграла (4.2) сложно или невозможно. Поэтому на практике обратное z-преобразование получают более простыми способами:
1. С использованием таблицы соответствий;
2. На основании теоремы Коши о вычетах;
3. Разложение изображения на простые дроби.
Обратное z-преобразование удобно использовать при отыскании отклика дискретной системы на дискретный сигнал и при отыскании импульсной характеристики дискретной системы при известной ее передаточной функции.
Для вычисления обратного z-преобразования с использованием таблицы соответствий в справочнике, содержащем таблицы оригиналов и соответствующих им изображений, находят оригинал для заданного изображения: Таблица 4.1. Достоинством способа является отсутствие необходимости вычисления обратного z-преобразования: просто анализируются результаты прямого z-преобразования для выбранных оригиналов. При вычислении прямого z-преобразования как правило используют выражение для суммы членов геометрической прогрессии и свойства z-преобразования. Недостатком способа является ограниченное число изображений в таблице.
Если z-изображение отсутствует в таблице соответствий, можно использовать разложение изображения на простые дроби. Например:
.
В этом случае, пользуясь свойством линейности z – преобразования и Таблицей 4.1 можно получить:
.
Таблица 4.1. Таблица соответствия
Последовательность | z-изображение | |
1. | ||
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ; ; ; . | |
7. | ; ; ; . |
Вычисление обратного z – преобразования с использованием вычетов основано на теореме Коши. Суть теоремы заключается в том, что интеграл вида (4.2), позволяющий вычислить обратное z – преобразование, вычисляется как сумма вычетов во всех особых точках (полюсах):
, (4.3)
где - вычет функции в k-ом полюсе .
Например, для изображения имеется один полюс . Поэтому для получения обратного z – преобразования необходимо вычислить только один вычет:
.
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 1601;