Свойства дискретного преобразования Фурье

1. Линейность ДПФ. ДПФ суммы дискретных последовательностей длительности N равна сумме ДПФ слагаемых суммы и имеет длину N:

; (2.1)

. (2.2)

2. ДПФ сумм последовательностей разной длины. Если в исходной сумме последовательностей разные длины: N₁, N₂, N₃, …, то перед вычислением ДПФ всей последовательности необходимо привести последовательности к одинаковой длине N, равной максимальной длине исходных последовательностей, за счет дополнения нулями.

3. Сдвиг ДПФ. Сдвиг ДПФ по оси k вправо на величину k₀ соответствует умножению исходной последовательности на комплексную экспоненту :

. (2.3)

4. Сдвиг исходной последовательности. Сдвиг последовательности вправо на m отсчетов (задержка последовательности) соответствует умножению ДПФ на комплексную экспоненту :

. (2.4)

5. Теорема Парсеваля. Теорема Парсеваля для периодических и конечных последовательностей:

. (2.5)

Теорема Парсеваля утверждает, что энергию сигнала можно вычислить как по переменной n во временной области, так и по переменной k в частотной области.

6. Свойство симметрии. Свойство симметрии вещественной последовательности:

, (2.6)

, (2.7)

; (2.8)

ось симметрии проходит через точку .

Для четного N:

, . (2.9)

Из последнего равенства следует, что и всегда действительные числа.

7. ДПФ вещественной последовательности. ДПФ вещественной последовательности полностью определено на интервале , который соответствует основному спектру сигнала.