Преобразование Фурье дискретизированного сигнала

2.2.2.1. Ряд Фурье для непрерывных периодических сигналов

Непрерывная периодическая функция времени с периодом может быть представлена рядом Фурье:

, (2.1)

где - период дискретизации по частоте ;

- нормированная частота;

- коэффициенты Фурье в виде комплексных чисел.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

. (2.2)

В свою очередь, можно ввести следующую непрерывную периодическую функцию частоты с периодом , которая может быть представлена следующим рядом Фурье:

, (2.3)

где - период дискретизации по времени ;

- нормированное время, соответствующее абсолютному времени ;

- коэффициенты Фурье в виде комплексных чисел.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

. (2.4)

2.2.2.2. Преобразование Фурье для непрерывных непериодических сигналов

В результате предельного перехода при можно перейти от ряда Фурье (2.1)

к интегралу Фурье:

, (2.5)

где - спектральная плотность функции . (2.6)

2.2.2.3. Преобразование Фурье дискретизированного сигнала

Представим дискретизированный сигнал в виде набора дельта-функций:

. (2.7)

Преобразование Фурье для дискретизированного сигнала запишется в виде:

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта – функции, получим:

. (2.8)

Таким образом, введя в рассмотрение дискретизированный сигнал , удалось получить выражение для его спектра через дискретные значения сигнала .

Спектр дискретизированного сигнала представляет собой 1) непрерывную и 2) периодическую функцию частоты, так как аргумент этой функции (в свою очередь функция) периодичен с периодом по частоте, равным :